HW4
转置
(矩阵转置). 给定一个 $m \times n$ 矩阵 ($m$ 横行, $n$ 纵列) 的矩阵 $A = (a_{i,j})_{1 \leq i \leq m, \ 1 \leq j \leq n}$, 定义转置矩阵 $A^T$ 为 $n \times m$ 规格的矩阵 $$ A^T = (a'_{i,j})_{1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m},\quad a'_{i,j}= a_{j,i}. $$
例如,
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}. $$
行秩 $=$ 列秩
给定矩阵 $A$. 证明最简行阶梯形的非零行数等于最简列阶梯形的非零列数. 换言之 $ref(A)$ 与 $ref(A^T)$ 有相同的非零行数. ($ref$ 定义见 HW3).
注: 对矩阵 $X$ 而言, 行变换与列变换的顺序可以交换. 因为行变换的本质是左乘某个矩阵 $A$, 列变换的本质是右乘某个矩阵 $B$. 由 $(AX)B = A(XB)$, 得证.
巧算秩不等式
记 $r(A)$ 为矩阵 $A$ 的秩, 也就是 $ref(A)$ 的非零行数. 请证明以下式子 (最好使用线性方程组的语言).
- $r(A) = r(A^T)$ (即, Ex-1 结论);
- $r(A) \leq r(A \quad B) \leq r(A) + r(B)$ (假定 $A$ 和 $B$ 行数相同);
- $r(A) \leq r\binom AB \leq r(A) + r(B)$ (假定 $A$ 和 $B$ 列数相同);
- $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$ (假定 $A$ 列数等于 $B$ 行数);
- $r(A) + r(B) = r\begin{pmatrix}A&O\\ O&B\end{pmatrix}$.
配完全平方
假定 $A$ 是取值为实数的矩阵. 证明 $Ax = 0$ 与 $A^T Ax = 0$ 有相同的解.
作为惯例, 我们不使用粗体表示矩阵与向量. 请各位习惯这一点. 同样地, 考试时无需把 $v$ 写作 $\overrightarrow v$ 或 $\mathbf v$.
稍难的题目
假设 $A$ 是 $n \times m$ 规格的矩阵, $B$ 是 $m \times p$ 规格矩阵. 请证明,
$$ r(AB) + m \geq r(A) + r(B). $$ 提示: 如果你熟悉线性空间, 则可以从零解的角度思考问题. 只需证明
$$ (m-r(A)) \geq (p-r(AB)) - (p-r(B)). $$