2025-05-23-讨论班

ZCC
May 23, 2025

23-May-2025: 函子语言的两则应用

网盘地址: 2025May23.mp4.

Abstract

使用函子语言介绍两组的概念:

  1. (极小) 左逼近,
  2. (极小) 右几乎可裂态射.

这两组看似毫不相关的概念在函子范畴中是近乎对偶的, 且都指向投射盖.

左逼近的函子语言

以下, $𝒞$ 是局部小的加法范畴, 子对象类 $𝒳 ⊆ 𝒞$ 同构闭且幂等完备.

(左 $𝒳$-逼近). 对 $C ∈ 𝒞$ 与 $X ∈ 𝒳$, 称态射 $f : C → X$ 是左 $𝒳$-逼近, 若对任意 $X ' ∈ 𝒳$ 与 $φ : C → X'$, 总有 $s$ 使得有交换图 .

(极小左 $𝒳$-逼近). 称左 $f : C → X$ 逼近是极小的, 若对任意自同态 $α : X → X$, 总有 $$\begin{equation} [α ∘ f = f] ⇒ [α ∈ \mathrm{Aut}(X)]. \end{equation}$$ 换言之, 极小左逼近既是左逼近, 也是左极小态射.

(左逼近的暴力构造). 假定 $𝒳$ 是对积封闭的集合, $𝒳$ 小, 则任意 $C ∈ 𝒳$ 的左 $𝒳$-逼近可以通过典范投影构造:



(函子语言). 记 $i : 𝒳 ↣ 𝒞$ 是嵌入函子

$f : C → X$ 是左逼近, 当且仅当存在满的自然变换 $$\begin{equation} f^∗ : (X, - )_𝒳 ↠ (C, i(-))_𝒞 \quad ∈ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (𝒳 , 𝐀𝐛). \end{equation}$$

这等价于说, $(C, i(-))_𝒞$ 是有限生成的函子.

$f : C → X$ 是极小左逼近, 当且仅当 $f^∗$ 满足如下条件:



此处 $θ ∈ \mathrm{End}(h^X) ≃ \mathrm{End}(X) ∋ α$. 这等价于说, $f^∗$ 是投射对象出发的右极小满态射, 也就是投射盖.

给定投射对象出发的满态射 $π : P ↠ M$, 以下两者等价.

  1. $M$ 有投射盖.
  2. $\mathrm{Hom}(P,M) ∈ 𝐌𝐨𝐝_{\mathrm{End}(P)^{\mathrm{op}}}$ 有投射盖.

一方面, 若 $M$ 有投射盖, 则不妨记 $$\begin{equation} (π _0, π_1) : P_0 ⊕ P_1 = P ↠ M, \end{equation}$$

其中 $π_0$ 是投射盖. 下断言满态射

$$\begin{equation} (P, π _0): (P, P_0) ↠ (P,M) \end{equation}$$ 就是投射盖. 任取 $𝔄 ∈ \mathrm{End}((P,P_0))$ 使得 $(P, π _0)∘ 𝔄 = (P, π _0)$. 由范畴等价 $$\begin{equation} (P, - ) : 𝐚𝐝𝐝 (P) ≃ 𝐩𝐫𝐨𝐣 (\mathrm{End}(P)) \end{equation}$$

因此, 记 $𝔄 = (P, α)$. 得 $(P, π _0 ∘ α) = (P, π _0)$. 由直和项,

$$\begin{equation} 0 = (P_0, (π _0 ∘ α - π _0)) : \mathrm{id}_{P_0} ↦ (π _0 ∘ α - π _0). \end{equation}$$

由假定, $π _0$ 是投射盖, 故 $α$ 是同构, 从而 $𝔄$ 是同构. 因此 $(P, π _0)$ 是投射盖.

另一方面, 假定 $(P, M)$ 存在投射盖, 则这一投射盖是 $(P,P)$ 的直和项, 由 $(P, -)$ 诱导的范畴等价, 不妨记作 $(P, P_0)$. 若将投射模出发的满射通过投射盖分解, 得一列 $\mathrm{End}(P)^{\mathrm{op}}$-模同态 $$\begin{equation} (P, P) ↠ (P, P_0) ↠ (P,M). \end{equation}$$

依照伴随与投射直和项的性质, 得同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\mathrm{End}(P)^{\mathrm{op}}}((P, P_0), (P, -)) ≃ (P_0, -). \end{equation}$$

这说明可以将以上模同态唯一地改写作 $$\begin{equation} (P, P) \overset {(P, a)} ↠ (P, P_0) \overset {(P, b)} ↠ (P,M). \end{equation}$$

特别地, $ba = (P,ba)(\mathrm{id}_P) = π$, 故 $b$ 满. 今断言 $p$ 就是右极小满态射, 任取 $γ ∈ \mathrm{End}(P_0)$ 使得 $b ∘ γ = b$, 则 $(P, b) ∘ (P, γ) = (P, γ)$. 由 $(P, b)$ 是投射盖, 故 $(P, γ)$ 是同构. 依照 $(P,-)$ 给出的范畴等价, $γ$ 必然是同构.

$C$ 存在极小左 $𝒳$-逼近, 当且仅当 $(C, i(-))_𝒞 ∈ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (𝒳 , 𝐀𝐛)$ 中存在投射盖 $(X_0, -)$, 亦当且仅当 $$\begin{equation} 𝖭𝖺𝗍 [(X_0, -)_𝒳, (C, i(-))_𝒞] ≃ (C,X_0)_𝒞 \end{equation}$$

作为 $𝖭𝖺𝗍 [(X_0, -)_𝒳, (X_0, -)_𝒳]^{\mathrm{op}} ≃ \mathrm{End}(X_0)^{\mathrm{op}}$-模范畴的对象存在投射盖.

给定加法范畴的子对象类 $𝒳$ (未必是加法子范畴). 若 $(C, i (-))_𝒞$ 是有限生成函子, 则存在有限直和 $⨁ X_i$ 使得 $(C, ⨁ X_i)$ 是有限生成 $\mathrm{End}(⨁ X_i)^{\mathrm{op}}$-模

特别地, $(C,C_X) ∈ 𝐦𝐨𝐝_{(\mathrm{End}(C_X))^{\mathrm{op}}}$ 是循环模, 生成元就是左逼近 $C → C_X$.

若 $(C, i (-))_𝒞$ 是有限生成函子, 取满态射 $ f_∙ : ⨁ (X_i, -)_𝒳 ↠ (C, i(-))_𝒞$. 这些 $\{f_i\}$ 是 $(C, ⨁ X_i)_𝒞$ 作为 $\mathrm{End}(⨁ X_i)^{\mathrm{op}}$-模的生成元.

对任意加法范畴 $𝒞$ 与幂等完备的子对象类 $𝒳$ ($𝒳$ 未必对直和封闭). $C$ 存在极小左 $𝒳$-逼近, 当且仅当存在 $C_X$ 使得

  • $(C,C_X)$ 是 $𝐌𝐨𝐝_{(\mathrm{End}(C_X))^{\mathrm{op}}}$ 中的有限生成模, 且
  • $(C,C_X)$ 有投射盖.

(Semiperfect 环的等价定义. 见 (24.16) Theorem, 以及 Proposition 4.1). 对环 $R$, 以下等价:

  1. $R / \mathrm{Rad}(R)$ 半单, 且 $R / \mathrm{Rad}(R)$ 的幂等元可以提升作 $R$ 中幂等元;
  2. $𝐚𝐝𝐝 (R)$ (有限生成投射模范畴) 是 Krull-Schmidt 范畴;
  3. 存在有限直和分解 $R = ⨁ P_i$, 使得 $\mathrm{End}(P_i)$ 是局部环;
  4. 有限生成 $R$-模都有投射盖;
  5. 循环 $R$-模都有投射盖;
  6. 单 $R$-模都有投射盖.

前三条幂使用幂等分解描述, 后三条使用投射盖描述.

例如, 单边 Artin 环与局部环都是 semiperfect 环.

假定 $C$ 存在左 $𝒳$-逼近 $C → C_X$, 且 $\mathrm{End}(C_X)$ 是 semiperfect 环. 此时, $C$ 存在极小左 $𝒳$ 逼近 $C → C_X'$, 且可以要求 $C_X'$ 就是 $C_X$ 的直和项.

(Krull-Schmidt 范畴). 加法范畴是 Krull-Schmidt 的, 当且仅当其所有对象都可以分解为不可分解对象的有限直和, 且所有对象的自同态环是局部环. 这类范畴自动是幂等完备的.

对于有足够内射对象的 Krull-Schmidt 范畴, 存在极小左内射逼近 (内射包); 对于有足够投射对象的 Krull-Schmidt 范畴, 存在极小右投射逼近 (投射盖).

与 AR 理论的关系

选定 $𝒜$ 为 Abel 长度的 Krull-Schmidt 范畴, 同时也是 Abel $k$-范畴. 例如有限维代数的有限生成模范畴.

由 $𝒜$ 有余核, 由嵌入 $$\begin{equation} 𝒜 ↣ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (𝒜^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k),\quad M ↦ (-, M) \end{equation}$$ 定义有限表现函子为 $(-, X) \xrightarrow{(-,f)} (-, Y) ↠ F(-)$ 类型的函子, 记作 $𝐟𝐩 (𝒜^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$. 特别地, 这是 Abel 全子范畴.

$𝒜$ 的不可分解投射对象就是不可分解对象对应的可表函子 $(-, M)$.

由定义, 投射对象 $P(-)$ 被某可表函子满地映上 $(- , X) \overset π ↠ P(-)$. 由可裂满, 构造复合的幂等自然变换 $$\begin{equation} (-, X) \overset π ↠ P(-) \overset ι ↪ (-, X). \end{equation}$$ 由米田引理, 存在唯一的 $α ∈ \mathrm{End}(X)$ 使得 $ι ∘ π = (-, α)$. 显然 $α^2 = α$, 因此取可裂的满单分解 $X ≃ M ⊕ N$. 这说明 $$\begin{equation} F(-) ≃ \mathrm{im}(ι ∘ π) = \mathrm{im}((-,α)) ≃ (-, M) \end{equation}$$ 是可表函子.

(Rad 函子). 对不可分解投射对象 $(-, M)$, 记 $\mathrm{Rad}(-, M)$ 是全体真子加法函子的和 (也就是共同的推出).

(Rad 函子良定义). 以下构造性地证明 $(-, M)$ 存在唯一的极大子函子, 亦可视作 $\mathrm{Rad}(-, M)$ 的等价定义.

  • $\mathrm{Rad}(-, M)$ 将 $N$ 对应至 $\mathrm{Rad}(N, M) ⊆ (N,M)$, 使得对任意 $f ∈ \mathrm{Rad}(N, M)$ 与 $g : M → N$, 映射 $1_N-gf$ 总是可逆的. 由不可分解对象的自同态环是局部环, 这等价于说 $gf$ 是幂零的, 因此 $\mathrm{Rad}$ 是加法双函子.

加法函子由不可分解对象处的取值决定. 对不可分解对象 $N$

  1. 若 $N \not≃ M$ 则 $\mathrm{Rad}(N, M) = (N, M)$;
  2. 若 $N = M$, 则 $\mathrm{Rad}(M,M)$ 就是局部环 $\mathrm{End}(M,M)$ 的极大理想.

给定不可分解对象间的态射 $f : X → Y$. 从函子视角看,

  1. $f$ 不是可裂单, 当且仅当 $\mathrm{im}((f , X)) ⊆ \mathrm{Rad}(X,X)$;
  2. $f$ 不是可裂满, 当且仅当 $\mathrm{im}((Y , f)) ⊆ \mathrm{Rad}(Y,Y)$.

(单对象). 商函子 $S^M := (-, M) / \mathrm{Rad}(-, M)$ 刻画如下:

  1. 若 $N \not≃ M$, 则 $S^M (N) = 0$;
  2. 若 $N = M$, 则 $S^M(M) = κ (\mathrm{End}(M))$.

这也是有限表现函子范畴的全体单对象, 与不可分解对象一一对应.

有限表现函子范畴存在投射盖, 故单对象必然是投射对象的极小商 ($\mathrm{Top}$).

任取有限表现函子 $F(-)$, 由构造知存在满态射 $(X, -) ↠ F(-)$. 由上述结论, $F(-)$ 存在投射盖, 当且仅当

  • $𝖭𝖺𝗍 [(X,-), F(-)]$ 作为 $𝖭𝖺𝗍 [(X,-), (X,-)]^{\mathrm{op}}$-模存在投射盖.

由米田引理, 只需说明 $F(X)$ 作为 $\mathrm{End}(X)^{\mathrm{op}}$-模具有投射盖. 依照 Abel 长度假定即得.

(右几乎可裂态射的二择). 称 $g : E → N$ 是右几乎可裂的, 若其满足以下两点:

  1. $g$ 不是可裂满;
  2. $g$ 任意非可裂满态射 $g' : E' → N$ 通过 $g$ 分解.

对一般的 Abel 范畴, 右几乎可裂态射 $g:E → N$ 必为以下两类之一.

  1. $g$ 是满的, 等价地, $N$ 不是投射对象.
  2. $g$ 不是满的, 等价地, $N$ 是投射对象.

假定范畴的投射对象有极大单子对象 (radical), 则情形 2. 中的 $N$ 不可分解, 且右几乎可裂态射就是 radical 的包含.

若 $g$ 满, 由 $g$ 不可裂知 $N$ 非投射. 若 $g$ 非满, 下证明 $N$ 投射. 若不然, 则存在 $N$ 无法提升的满态射 $A ↠ B$, 故拉回 $A × _BN → B$ 不是可裂满, 从而被 $g$ 分解:



考虑复合的满态射 $p ∘ φ = p ∘ g ∘ ψ = 0$, 因此 $\mathrm{cok}(g) = 0$. 这与 $g$ 非满矛盾.

假定范畴的投射对象有极大单子对象 (radical). 下证明 $N$ 不可分解, 若有 $\binom{g_1}{g_2} : E → N_1 ⊕ N_2$, 则考虑 $N_i ↪ N_1 ⊕ N_2$ 经由 $g$ 的分解, 得 $g_1$ 与 $g_2$ 均满: 这与 $g$ 非可裂满矛盾. 若 $N$ 是不可分解投射对象, 则所有非可裂满的态射, 即所有非满的态射, 必然通过 radical 分解.

(右几乎可裂的函子语言表述). 选定对不可分解对象 $N$. $g : E → N$ 是右几乎可裂态射, 当且仅当以下是投射表现

$$\begin{equation} (-, E) \overset {(-, g)} → (-, N) ↠ S^N (-) → 0. \end{equation}$$

先转换两处函子语言.

  1. $\mathrm{im}((- , g)) ⊆ \mathrm{Rad}(-, N)$ 等价于 $g$ 非可裂满.
    1. 一方面, 若 $g$ 可裂满, 则存在 $( - , g) ∘ (- , i) = (-, \mathrm{id}_N)$, 其像严格大于 $\mathrm{Rad}(-, N)$.
    2. 另一方面, 若 $g$ 非可裂满, 则 $\mathrm{im}((N , g)) ⊆ \mathrm{Rad}(N, N)$. 对 $M \not≃ N$, 自然有 $\mathrm{im}((M , g)) ⊆ \mathrm{Rad}(M, N) = \mathrm{Hom}(M,N)$.
  2. $\mathrm{im}((-, g)) ⊇ \mathrm{Rad}(-, N)$ 等价于 $g$ 可以分解一切非可裂满的态射.
    1. 一方面, 假定 $g$ 能分解一切非可裂满的态射. 由于 $\mathrm{Rad}(X, N)$ 中只能出现非可裂满态射, 故必然是 $(X, g)$ 的像.
    2. 另一方面, 假定 $\mathrm{im}((-, g)) ⊇ \mathrm{Rad}(-, N)$. 由于指向 $N$ 的非可裂满态射必然出现在 $\mathrm{Rad}(-, M)$ 中, 故 $g$ 能分解一切非可裂满态射.

由函子语言的转换, 上述是正合列当且仅当 $\mathrm{im}((- , g)) = \mathrm{Rad}(-, N)$, 当且仅当 $g$ 是右几乎可裂态射.

对投射对象, 有以下函子的正合列



(右极小几乎可裂态射的函子语言表述). 假定 $N$ 是不可分解对象, $g : E → N$ 是右极小几乎可裂态射当且仅当

$$\begin{equation} (-, E) \overset {(-, g)} → (-, N) ↠ S^N (-) → 0. \end{equation}$$

是极小投射表现.

由前文的命题, 假定 $g$ 是极小几乎可裂态射当且仅当以下是函子的正合列. 只需在此前提下证明, $g$ 右极小当且仅当以上是极小投射表现, 等价地, $(-, E) \overset {(-, g)} ↠ \mathrm{Rad}((-, N))$ 是投射盖.

$(-, g)$ 诱导了投射盖, 当且仅当 $$\begin{equation} [(- , g) ∘ θ = (- , g)] ⇒ [θ :\text{Iso}]\quad (∀ θ ∈ 𝖭𝖺𝗍 [(-, E), (-, E)]). \end{equation}$$ 由米田引理, 改写 $θ = (-, α)$, 同时 $[(-, g ∘ α) = (- , g)] ⇔ [g ∘ α = g]$. 这说明 $(-, g)$ 诱导了投射盖当且仅当 $g$ 是右极小的.

(函子的几乎可裂短正合列). 几乎可裂 ses $0 → L → M → N → 0$, 诱导了函子范畴的极小投射表现 $$\begin{equation} 0 → (-, L) → (-, M) → (-, N) → S^N(-) → 0. \end{equation}$$ 特别地, 以下汇总了函子范畴 $𝐟𝐩 (𝒜 ^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 中单对象的投射维数:

  1. 若 $N$ 是投射单对象, 则单对象 $S^N$ 的投射维数是 $0$;
  2. 若 $N$ 是不可分解且非单的投射对象, 则单对象 $S^N$ 的投射维数是 $1$;
  3. 若 $N$ 是不可分解非投射对象, 则单对象 $S^N$ 的投射维数是 $2$.

对偶命题

投射对象由 $(-, N) ∈ 𝐟𝐩 (𝒜 ^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 变作 $(N, -) ∈ 𝐟𝐩 (𝒜 , 𝐌𝐨𝐝 _k)$. 简单地说, 底范畴的箭头反转, 函子范畴的箭头不变.

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