几乎可裂态射的结构

由对称性, 只需证明前三条.

假定存在 $X_1 ⊕ X_2 \xrightarrow{(f_1 \ f_2)} Z$ 类型的几乎可裂态射 (假定 $X_i ≠ 0$), 则非可裂单的 $p_i : X_1 ⊕ X_2 → x_i$ 通过 $(f_1 \ f_2)$ 分解, 得 $r_i$. 注意到

$$ X_1 ⊕ X_2 \xrightarrow{(f_1 \ f_2)} Z \xrightarrow{(r_1 \ r_2)} X_1 ⊕ X_2 $$

同构, 从而 $(f_1 \ f_2)$ 是可裂单, 矛盾.
今假定 $f$ 不是单的, 则必有 $s(f) ∉ 𝐢𝐧𝐣$. 若左几乎可裂态射 $f$ 非单, 则有左正合列

$$ 0 → K → X → Y . $$

今断言 $X$ 是内射对象. 若不然, 则存在 $X$ 无法提升的单态射 $U ↪ V$, 此时推出方块 $▤$ 中的态射 $X ⇢ E$ 不是可裂单, 从而被 $X → Y$ 分解:

$$ \begin{bmatrix} & & & & Y\\ & & & ↗ & ⤈ \\ K & ↪ & X & ⇢ & E\\ & & ↑ & ▤ & ⇡ \\ & & U & ↪ & V \end{bmatrix}. $$

由 Abel 范畴的性质, 单射的推出仍是单的, 因此

$$ 0 = \ker [X → E] ↩ \ker [X → Y] = K ≠ 0. $$

这给出矛盾, 从而 $X$ 必然是内射对象.
给定内射对象 $I$. 对任意非可裂单 $a : I → X$, 态射 $I → X → I$ 的余像是总是 $\mathrm{Bot}(I)$ 的商, 因此 $a$ 必通过 $I ↠ \mathrm{Bot}(I)$ 分解. 这说明 $I ↠ \mathrm{Bot}(I)$ 是左几乎可裂.
下对一切内射模出发的左几乎可裂态射作说明: 若存在另一左几乎可裂态射 $I → J$, 则存在

$$ [I ↠ \mathrm{Bot}(I)] = [I ↠ \mathrm{Bot}(I) → J → \mathrm{Bot}(I)]. $$

因此 $\mathrm{Bot}(I)$ 是 $J$ 的直和项.