函子范畴的 Curry 化

一方面, 对 $F ∈ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (𝒜 × ℬ, ℰ)$, 有良定义的函子 $$\begin{equation} 𝔉 : 𝒜 → 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (ℬ, ℰ),\quad A ↦ F(A, -). \end{equation}$$ 对函子间的自然变换 $θ_{(-,-)} : F ⇒ G$, 以下是自然变换 $$\begin{equation} [Θ_A : 𝔉(A) ⇒ 𝔊(A)] := [θ_{(A,-)} : F(A, -)⇒ G(A,-)]. \end{equation}$$ 由 $θ$ 是双自然变换, 对任意 $φ: A → A'$ 总有交换图 $$\begin{equation} Θ_{A'} ∘ 𝔉(φ) = θ_{(A', -)} ∘ F(φ , -) = G(φ, -) ∘ θ_{(A, - )} = 𝔊 (φ )∘ Θ_A. \end{equation}$$

以上完成了对应 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (𝒜 × ℬ, ℰ) ⇒ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (𝒜, 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (ℬ, ℰ))$.

另一方面, 对 $𝔉 ∈ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (𝒜, 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (ℬ, ℰ))$, 有良定义的函子 $$\begin{equation} F : 𝒜 × ℬ → ℰ,\quad (A,B) ↦ (𝔉(A))(B). \end{equation}$$ 对函子间的自然变换 $Θ_- : 𝔉 ⇒ 𝔊$, 以下是自然变换: $$\begin{equation} [θ_{(A,B)} : F(A,B) → G(A,B)] := [Θ_A(B) : (𝔉(A))(B) → (𝔊(A))(B)] \end{equation}$$ 继而检验自然变换的良定义性, 任取 $(f,g) : (A,B) → (A', B')$, $$\begin{aligned} θ_{(A',B')} ∘ F(f,g) & = Θ_{A'}(B')∘ (𝔉(f))(g) \\ & = Θ_{A'}(B') ∘ (𝔉(f)) (\mathrm{id}_{B'}) ∘ (𝔉(\mathrm{id}_{A}))(g)\\ & = (𝔊(f)) (\mathrm{id}_{B'}) ∘ Θ_{A}(B') ∘ (𝔉(\mathrm{id}_{A}))(g)\\ & = (𝔊(f)) (\mathrm{id}_{B'}) ∘ (𝔊(\mathrm{id}_{A}))(g) ∘ Θ_{A}(B)\\ & = (𝔊(f))(g) ∘ Θ_A(B) \\ & = G(f, g) ∘ θ_{(A,B)}. \end{aligned}$$

由定义, 以上对应是互逆的.