DG 范畴与消解

Chencheng Zhang
June 22, 2025

DG 范畴与消解

定义与记号

选定交换代数 $k$. 往后谈及范畴都是 $k$-充实的, 所有代数 (含幺) 与张量运算都是 $k$ 上的.

通俗地, 称范畴 $\mathcal{A}$ 充实在 $\mathcal{B}$ 上, 若 $\mathcal{A}$ 的 $\mathrm{Hom}$ 空间视作 $\mathcal{B}$ 中对象. 此处不对 $\mathcal{A}$ 中对象作任何要求.

例如, $𝐀𝐛$-充实范畴就是预加范畴 (并不仅仅是加法范畴);
再如, $𝐌𝐨𝐝 _k$ 是充实在自身上;
局部小的范畴就是 $𝐒𝐞𝐭𝐬$-充实范畴;
$2$-范畴是充实在小范畴上的范畴.

约定如下常用范畴的记号.

$\mathcal{G}(\mathcal{A})$ 是分次对象范畴. 对象是分次对象 $V = ∐ _{d ∈ ℤ}V_d$, 态射即函子范畴的态射. 特别地, 任意态射能写成分次态射的有限和.
$\mathcal{C}(\mathcal{A})$ 是复形范畴. 对象是复形 (微分分次对象), 态射是复形的链映射.
$\mathcal{K}(\mathcal{A})$ 是复形范畴的同伦范畴, 也就是 $\mathcal{C}(-)$ 连同可裂短正合列构成的 Frobenius 范畴之稳定范畴.
$\mathcal{C}_{dg}(\mathcal{A})$ 是微分分次范畴. 对象是复形, 态射是分次模的态射 (没有链映射之类的约束, 等同于 $\mathrm{Hom}$-复形).

微分分次范畴 (简称为 DG 范畴) 即 $\mathcal{C}(k)$-充实范畴.

例: 复形范畴

复形范畴 $\mathcal{C}(\mathcal{A})$ 具有如下对称闭幺半结构. 张量复形 $X ⊗ Y$ 的 $d$-分次是 $∐_{p+q = d} X^p ⊗ Y^q$, 微分 $d_{X ⊗ Y} := 1_X ⊗ d_Y + d_X ⊗ 1_Y$ 满足 Koszul 符号法则. 假定 $x$ 与 $y$ 是齐次对象, 计算微分得 $$\begin{aligned} & \ \ \quad (1_X ⊗ d_Y + d_X ⊗ 1_Y) (x ⊗ y) \\[6pt] &= (-1)^{\deg (d_Y)⋅ \deg x} ⋅ 1_X(x) ⊗ d_Y(y) + (-1)^{\deg (1_Y)⋅ \deg x} ⋅ d_X(x) ⊗ 1_Y(y) \\[6pt] &= (-1)^{\deg x} ⋅ x ⊗ d_Y(y) + d_X(x) ⊗ y. \end{aligned}$$

此处微分次数为 $1$, 数乘次数为 $0$. 特别地, 这一 $⊗$ 是对称的, 容易检验以下是自然同构 $$\begin{equation} τ _{X,Y} : X ⊗ Y ≃ Y ⊗ X,\quad X^{(p)} ⊗ Y^{(q)} → (-1)^{pq}⋅ Y ^{(q)} ⊗ X^{(p)}. \end{equation}$$

依照伴随定义内 $\mathrm{Hom}$-对象 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}(-, \mathcal{Hom}(?, ⋅ )) ≃ \mathrm{Hom}(? ⊗ -, ⋅ ). \end{equation}$$

计算知, $\mathcal{Hom}(X , Y)$ 的 $d$ 分次是 $∏_{q-p = d}\mathrm{Hom}(X^p, Y^q)$, 微分是 $$\begin{equation} f ↦ d_Y ∘ f - (-1)^n f ∘ d_X. \end{equation}$$

由米田引理, $\mathcal{Hom}(-, \mathcal{Hom}(?, ⋅ )) ≃ \mathcal{Hom}(? ⊗ -, ⋅ )$

若 $k ∈ \mathcal{A}$, 则零次轴复形 $k^{(0)}$ 是 Grothendieck 半环 $(\mathcal{C}(\mathcal{A}), ⊕, 0, ⊗ , k^{[0]})$ 的乘法幺元.

许多范畴的 $\mathrm{Hom}$-空间也是范畴中对象, 例如 $\mathrm{Hom}_{𝐀𝐛 }(A,B)$ 仍是 Abel 群, $\mathrm{Hom}_{\mathcal{G}(k)}(U,V)$ 仍是分次 $k$-模. 复形之 $\mathcal{Hom}$ 较 $\mathrm{Hom}$ 更为自然; 同时, $\{⊗, \mathrm{Hom}\}$ 可唯一地决定 $\mathcal{Hom}$. 以下约定

若强调态射空间为 $\mathcal{Hom}$, 则将复形改称作微分分次对象.

考虑范畴 $\mathcal{A}$ 中微分分次对象构成范畴 (记作 $\mathcal{C}_{dg}(\mathcal{A})$):

范畴对象是 $\mathcal{C}(\mathcal{A})$ 中的复形;
态射空间是 $\mathrm{Hom}(X, Y)$.

这里的 $\mathrm{Hom}$-空间是 $\mathcal{C}(k)$-充实的.

复形范畴 $\mathcal{C}(\mathcal{A})$ 与 $\mathcal{C}_{dg}(\mathcal{A})$ 有相同的对象类, 后者的态射空间包含 $\mathcal{Hom}(X,Y)$ 中链映射, 也就是 $Z^0(\mathcal{Hom}(X,Y))$;
同伦范畴 $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ 与 $\mathcal{C}_{dg}(\mathcal{A})$ 有相同的对象类, 后者的态射空间由 $\mathcal{Hom}(X,Y)$ 中链映射商去同伦关系所刻画, 也就是 $H^0(\mathcal{Hom}(X,Y))$.

以下例子引出了一个问题: 为何要研究 dg-2-范畴?

$k$-范畴与 dg-范畴存在自然的转换:

由以上, 一切 dg-范畴可遗忘作通常的 $k$-范畴, 将 $\mathcal{Hom}$ 替换作 $Z^0(\mathcal{Hom})$ 即可;
相反地, 任意 $k$-范畴可以平凡地视作 dg-范畴, 将一切 $\mathcal{Hom}(X,Y)$ 记作轴复形 $(\mathrm{Hom}(X,Y))^{(0)}$ 即可.

这一自由-遗忘伴随在 $𝐌𝐨𝐝 _k ⇆ \mathcal{C}(k)$ 中体现作

$$\begin{equation} (M , Z^0(X^∙ ))_k ≃ (M^{(0)}, X^∙)_{\mathcal{C}(k)},\quad f ↦ f^{(0)}. \end{equation}$$

以上伴随可在 $2$-范畴中研究: 对小 $k$-范畴 $\mathcal{X}$ 与小 dg-范畴 $\mathcal{A}$ 应有

$$\begin{equation} 𝖭𝖺𝗍 _{k} [\mathcal{X}, Z^0(\mathcal{A})]≃ 𝖭𝖺𝗍_{𝐃𝐆} [\mathcal{X}^{(0)}, \mathcal{A}]. \end{equation}$$

因此, 定义 dg $2$-范畴与 dg 函子颇有必要.

$𝐃𝐆$ 充实在 dg 范畴上

记 $𝐃𝐆$ 是小-dg 范畴构成的范畴. $𝐃𝐆$ 不仅仅是 dg 范畴 (即, 充实在 $\mathcal{C}(k)$ 上), 它甚至是 $𝐃𝐆$-充实的. 特别地, 这一充实范畴的 $\mathcal{Hom}$ 诱导了张量, 使得 $𝐃𝐆$ 是闭幺半范畴.

记 $\mathrm{Funct}$ 是通常的 $k$-函子范畴, $\mathcal{Funct}$ 与 $⊠$ 是 $𝐃𝐆$ 的内 $\mathcal{Hom}$ 与 tensor.

回顾从 $\mathcal{C}(k)$ 到 $\mathcal{C}_{dg}(k)$ 的充实化: 复形范畴 $\mathcal{C}(k)$ 仅是通常的 $k$-充实范畴; 得益于 $\mathrm{Hom}$-复形, 添加态射类 ($\mathrm{Hom} → \mathcal{Hom}$) 所得的微分分次范畴可以充实在自身上, 即 $\mathcal{C}(k)$-充实.

不难有如下类比: $𝐃𝐆$ 仅充实在 $k$-范畴上; 能否扩张态射类 ($\mathrm{Funct} ↦ \mathcal{Funct}$), 使得 $𝐃𝐆$ 能进一步地充实在自身上, 即 $𝐃𝐆$-充实?

两个 dg-范畴的张量积 $\mathcal{A}⊠\mathcal{B}$ 定义如下:

对象形如二元组 $(A,B)$, 视同 $\mathcal{A} × \mathcal{B}$ 中的对象;
对象间态射形如有限和 $∑ (f_i, g_i) : (A,B) → (A',B')$, 也就是 $((A,B),(A',B'))_{\mathcal{A}⊠\mathcal{B}} ≃ (A,A')_{\mathcal{A}} ⊗ (B,B')_{\mathcal{B}}$.

任给定 dg 范畴 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$. 存在自然的 dg-范畴 $\mathcal{Funct}(\mathcal{A}, \mathcal{B})$,

定义范畴 $\mathcal{Funct}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ 如下.

对象是 $\mathcal{A} → \mathcal{B}$ 类型的 $k$-函子. 换言之, $\mathrm{Funct}(\mathcal{A}, \mathcal{B})$ 与 $\mathcal{Funct}(\mathcal{A}, \mathcal{B})$ 有相同的对象类.
对象间态射是齐次态射的有限和. 一个 $d$-次自然变换是一族 $\mathcal{B}$ 中的 $d$-次态射 $\{θ _X ∈ (FX, GX)_\mathcal{B}^{(d)}\}_{X ∈ 𝖮𝖻 (\mathcal{A})}$, 使得对一切 $f : X → Y$ 均有 $θ _Y ∘ Ff = Gf ∘ θ _X$.

Resolutions via Brown

Classical Cases

We assume that $\mathcal{A}$ possesses enough injectives. We summarise the principal procedure in establishing the equivalences

$$\begin{equation} K^{+, b}(\mathcal{I}) \simeq D^b(\mathcal{A}),\quad K^+(\mathcal{I}) \simeq D^+(\mathcal{A}),\quad K_{\mathrm{h \ proj}} (\mathcal{I}) \simeq D(\mathcal{A}). \end{equation}$$

The traditional resolutions are efficiently done by Eilenberg–Cartan resolution; that is, the $\mathcal{I}$-coresolution of a complex $(X^\bullet,d^\bullet)$ is first constructed for the $\operatorname{im}(d^n)$’s and $H^n(X)$’s, and subsequently for $\ker (d^n)$’s and $X^n$’s by horseshoe lemma. We remark that

the $\mathcal{I}$-coresolution of $X \in C^+(\mathcal{A})$ lies in the first quadrant of the plane, so that the total complex is locally finite and therefore exact;
when $\mathcal{A}$ has finite injective dimension, the $\mathcal{I}$-coresolution of $X \in C(\mathcal{A})$ is bounded both above and below, and thus the total complex is exact;
the relative horseshoe lemma yields a relative resolution; that is, suppose $\mathcal{J}$ is a subclass of $\mathcal{A}$ such that every $A \in \mathcal{A}$ admits a monomorphism $A \hookrightarrow J$ for some $J \in \mathcal{J}$, then $X \in C(\mathcal{A})$ admits a $\mathcal{J}$-coresolution. The total complex is again exact once it is locally finite.