Equivalent Definitions of Finitely Presented Functor

证明顺序: 2 ⟺ 1 ⟺ 3.
(1 ⟹ 2). 记 $F = \mathrm{cok}(h_{X \xrightarrow φ Y})$, 则对任意滤过系统 $G_∙$,

$$ \begin{bmatrix} 0&\to &(\mathrm{cok}(h_φ),\varinjlim G_∙) &\to &(h_Y,\varinjlim G_∙)&\to &(h_X,\varinjlim G_∙)\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\ 0&\to &\varinjlim G_∙ (\mathrm{cok}(φ))&\to &\varinjlim G_∙ (Y)&\to &\varinjlim G_∙ (X) \end{bmatrix}. $$

依照 $𝐌𝐨𝐝_k$ 是 AB5 范畴, 下一行是正合列. 考虑自然同构

$$ (h_Z, \varinjlim G_∙)\xlongequal[\sim]{\text{米田引理}}(\varinjlim G_\bullet)(X)\xlongequal{\text{定义}}\varinjlim G_∙ (X). $$

由此得自然同构

$$ (\mathrm{cok}(h_φ),\varinjlim G_∙) ≃ \varinjlim G_∙ (\mathrm{cok}(φ)) ≃ \varinjlim(\mathrm{cok}(h_φ), G_∙) . $$

(2 ⇒ 1) 记余极限 $∐\limits_{i ∈ I} h_{X_i} ↠ \varinjlim\limits_{i ∈ I} h_X = F$, 定义滤过系统 $\{(L, I_0), ≤ \}$. 其中 $I_0 ⊂ I$ 是有限集, $L$ 是有限生成的 (可表函子的商). 称 $(L, I_0) ≤ (H, J_0)$, 当且仅当 $L ↪ H$ 且 $I_0 ⊂ J_0$, 如下图所示

$$ \begin{bmatrix} H & \hookrightarrow & K\cap \coprod _{i\in J_{0}} h_{X_{i}} & \hookrightarrow & \coprod _{i\in J_{0}} h_{X_{i}} & & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ L & \hookrightarrow & K\cap \coprod _{i\in I_{0}} h_{X_{i}} & \hookrightarrow & \coprod _{i\in I_{0}} h_{X_{i}} & & \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \\ & & K & \hookrightarrow & \coprod _{i\in I} h_{X_{i}} & \twoheadrightarrow & F \end{bmatrix}. $$

下检验这一偏序集是滤过的.

对 $\{(L_i, I_i)\}_{i = 1,2}$, 形式地定义 $L_1 + L_2$ 为 $\{L_i ↪ K ∩ ∐\limits_{I_1 ∪ I_2} h_i\}_{i=1,2}$ 拉回之推出. 由于 $L_1 + L_2$ 是 $L_1 ⊕ L_2$ 的商, 从而是有限生成的. 因此 $(L_1 + L_2, I_1 ∪ I_2)$ 是两者的公共上界.

对 $0 → L → ∐\limits_{I_0} h_{x_i} → \frac{∐_{I_0} h_{x_i}}{L} → 0$ 取滤过余极限, 得

$$ F = \varinjlim\limits_{(L, I_0)} \mathrm{cok}(L ↪ ∐\limits_{x ∈ I_0} h_{x}). $$

这说明 $F$ 是有限表现函子的滤过余极限 (记 $F = \varinjlim M_∙$). 依照假定,

$$ \mathrm{id}_F ∈ (F,F) ≃ \varinjlim (F, M_∙), $$

从而 $\mathrm{id}_F$ 通过某一有限表现函子 $M_∙$ 分解.
(1 ⇒ 3) 选定 $F = \mathrm{cok}(h_{X\xrightarrow φ Y})$, 依照直积的正合性, 以下是正合列的交换图 $$ \begin{bmatrix} h_X\otimes \prod-&\to&h_Y\otimes \prod-&\to&F\otimes \prod-&\to&0\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\ \prod h_X\otimes-&\to&\prod h_Y\otimes-&\to&\prod F\otimes- &\to&0 \end{bmatrix}. $$ 左侧竖向同构, 从而是推出方块, 故右两项同构.
(3 ⇒ 1) 由于 $𝒞$ 本质小, 将自然变换 $\mathrm{id}_F$ 视作集合

$$ ∏\limits_{(M,N) ∈ 𝖮𝖻(X) × 𝖮𝖻(Y)}(FM,FN)^{(FM,FN)} $$

中的一个元素. 依照函子性, 存在自然同构 $(FM, FN) = F ⊗ 𝖭𝖺𝗍(h^N,h^M)$. 因此有

$$ \begin{align*} &\ ∏\limits_{(M,N) ∈ 𝖮𝖻(X) × 𝖮𝖻(Y)}(FM,FN)^{(FM,FN)}\\ ≃ &\ ∏\limits_{(M,N) ∈ 𝖮𝖻(X) × 𝖮𝖻(Y)}(F ⊗ 𝖭𝖺𝗍 (h^N, h^M))^{(FM,FN)}\\ ≃ &\ F ⊗ ∏\limits_{(M,N) ∈ 𝖮𝖻(X) × 𝖮𝖻(Y)}(𝖭𝖺𝗍 (h^N, h^M))^{(FM,FN)}\\ ≃ &\ (\varinjlim Y_∙) ⊗ ∏\limits_{(M,N) ∈ 𝖮𝖻(X) × 𝖮𝖻(Y)}(𝖭𝖺𝗍 (h^N, h^M))^{(FM,FN)}\\ ≃ &\ \varinjlim \left(h_{X_i} ⊗ ∏\limits_{(M,N) ∈ 𝖮𝖻(X) × 𝖮𝖻(Y)}(𝖭𝖺𝗍 (h^N, h^M))^{(FM,FN)}\right)\\ ≃ &\ \varinjlim ∏\limits_{(M,N) ∈ 𝖮𝖻(X) × 𝖮𝖻(Y)}(Y_∙ ⊗ 𝖭𝖺𝗍 (h^N, h^M))^{(FM,FN)}\\ ≃ &\ \varinjlim ∏\limits_{(M,N) ∈ 𝖮𝖻(X) × 𝖮𝖻(Y)}(Y_∙ (M), Y_∙ (N))^{(FM,FN)}. \end{align*} $$

以上将 $F$ 表示作有限表现函子的滤过余极限 $\varinjlim Y_∙$, 每一 $Y_i$ 均与 $∏$ 交换. 从而 $\mathrm{id}_F$ 是某一 $𝖭𝖺𝗍(Y_i, F)$ 的像. 此时存在满的自然变换 $Y_i → F$, 得 $F$ 有限生成. 取 $𝐌𝐨𝐝_{𝒞}$ 的短正合列 $$ 0 → K → h_{X} → F → 0. $$ 由于后两项保持积, 蛇引理给出函子的满的自然变换 $(K ⊗ ∏ -) ↠ ∏(K ⊗ -)$. 基于类似的论证, 存在满态射 $h_{Y_j} ↠ K$ , 因此 $h_{Y_j} → h_{X_i} → F → 0$ 正合.