Finitely Presented Flat is Projective
(有限表现 + 平坦 = 投射). 给定 Karoubi 的, 本质小的加法范畴 $𝒞$. 若 $F ∈ 𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 平坦, 则 $F$ 投射.
记 $F = \mathrm{cok}(h_{X \xrightarrow f Y})$. 考虑对偶
$$ 𝔇 : 𝐌𝐨𝐝_{𝒞} → 𝐌𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}},\quad L ↦ (L(∙), C). $$
其中 $C$ 是 $𝐌𝐨𝐝_k$ 中的内射余生成元. 往证 $F$ 提升一切满态射 $α : L → R$, 也就是证明单态射
$$ 𝔇 𝖭𝖺𝗍[F, R]\xrightarrow {𝔇 α} 𝔇 𝖭𝖺𝗍[F, L]. $$
对可表函子 $h_X$,
$$ 𝔇 𝖭𝖺𝗍[h_X, L] ≃ 𝔇LX = (LX, C)≃ h_X(∙) ⊗ (L(∙), C). $$
此时,
$$ \begin{bmatrix} 𝔇 (RX) & ≃ & h_{X} ⊗ (R,C) & ↪ & h_{X} ⊗ (L,C) & ≃ & 𝔇 (LX)\\ ↓ & & ↓ & & ↓ & & ↓ \\ 𝔇 (RY) & ≃ & h_{Y} ⊗ (R,C) & ↪ & h_{Y} ⊗ (L,C) & ≃ & 𝔇 (LY)\\ ↓ & & ↓ & & ↓ & & ↓ \\ 𝔇 ([F,R]) & ≃ & F⊗ (R,C) & \dashrightarrow & F⊗ (L,C) & ≃ & 𝔇 ([F,L]) \end{bmatrix}. $$
依照蛇引理, $𝔇([F,R]) ↪ 𝔇([F,L])$ 是单态射, 从而 $F$ 提升一切满态射. 依照 $F$ 投射, 有限表现, 以及范畴 Karoubi, 得 $F$ 可表.
这一证明完全照抄模范畴的结论.