Gabriel-Zisman 局部化

(局部化的存在性: Gabriel-Zisman 的路范畴构造). 给定范畴 $𝒞$ 与态射类 $S$. 以下是将 $S^{-1}$ 形式地加入 $𝖬𝗈𝗋(𝒞)$ 的方式.

1. 由 $𝒞$ 与 $S$ 构造箭图范畴 $𝒬=𝒬(𝒞,S)$, 其对象类与 $𝒞$ 相同, 态射为无交并 $(X,Y)_{𝒬}=\sqcup_{n\geq 0}(X,Y)_n$. 此处
   1. $(X,Y)_0$ 包含 $Y\leftarrow X$ 朝向的长为 $0$ 的路, 非空当且仅当 $X=Y$. 其元素为 $(X,X)_0=\{\mathrm{id}_X\}$.

   2. $(X,Y)_1$ 包含 $Y\leftarrow X$ 朝向的长为 $1$ 的路, 定义作无交并

      $$\begin{equation} (X,Y)_1=(X,Y)_{𝒞}\sqcup \{a:Y\to X\mid a\in S\}=:(X,Y)_{1,1}\sqcup (X,Y)_{1,2}. \end{equation}$$

   3. $(X,Y)_{n+1}$ 包含 $Y\leftarrow X$ 朝向的长为 $n+1$ 的路. $s\in (X,Y)_{n+1}$ 当且仅当存在 $Z$ 使得 $s\in ((Z,Y)_1\circ (X,Z)_n)$. 此处态射的复合是自由的.
   • 注意: 范畴 $𝒬$ 中的态射是 $𝒞$ 中非恒等态射在忘却复合结构下生成的自由字. 因此, 对象间的 $\mathrm{Hom}$-类未必是小的.
2. 继而考虑 $𝒬$ 上的等价关系. 默认正向箭头的嵌入 $$\begin{equation} 𝖬𝗈𝗋(𝒞)\to 𝖬𝗈𝗋(𝒬),\quad [f:X\to Y]\mapsto [f\in (X,Y)_1],\quad \mathrm{id}_X\mapsto \mathrm{id}_X\in (X,X)_0. \end{equation}$$ 引入逆向箭头的嵌入为 (方便起见, 假定态射类 $S$ 不包含任一 $\mathrm{id}_X$) $$\begin{equation} \overline{(-)}:S\to 𝖬𝗈𝗋(𝒬)_1,\quad [f:X\to Y]\mapsto \overline f\quad (f\in (Y,X)_{1,2}). \end{equation}$$ 定义范畴 $𝒬$ 中的等价关系 (容易检验):
   1. 自反性, 表述略;
   2. 对 $𝒞$ 中的态射复合 $f\circ g=f\circ_{𝒞} g$, 在 $𝒬$ 中有 $(f\circ_{𝒬} g)\sim (f\circ g)$;
   3. 更一般地, 若 $𝖬𝗈𝗋$ 中有限长的字 $a_1a_2\cdots a_n$ 满足 $a_k=b\circ_{𝒞} c$, 则 $a_1a_2\cdots a_n\sim a_1a_2\cdots a_{k-1}bca_{k+1}\cdots a_n$;
   4. 对 $(f:X\to Y)\in S$, 定义 $(f\circ_{𝒬}\overline f)\sim \mathrm{id}_Y$ 与 $(\overline f\circ_{𝒬}f)\sim \mathrm{id}_X$;
   5. 更一般地, 对任一 $𝖬𝗈𝗋$ 中有限长的字 $a_1a_2\cdots a_n$ 与 $f\in S$, 在可复合的意义下有 $a_1a_2\cdots a_n\sim a_1\cdots a_{i}f\overline fa_{i+1}\cdots a_n$, 以及 $a_1a_2\cdots a_n\sim a_1\cdots a_{j}\overline f ja_{j+1}\cdots a_n$.

   需要验证以上是范畴的等价关系. 需要对同一律加以说明: 若 $f\sim g$, 则 $f$ 与 $g$ 有相同的来源与去向.

3. $S^{-1}𝒞$ 定义作 $𝒬$ 关于以上范畴等价关系的商范畴. 注: 此处的商由 (未必小的) 滤过余极限, 因此局部化范畴未必是局部小的. 类似 3.2.7 的检验表明 $𝒬/∼ $ 满足局部化范畴 $S^{-1}𝒞$ 应具有的泛性质.