六引理 ($\ker$-$\operatorname{cok}$ 序列)
证明
给定复合态射 $g ∘ f$, 此时有六项正合列 \begin{equation} 0 → \ker f → \ker g ∘ f → \ker g → \operatorname{cok} f → \operatorname{cok} g ∘ f → \operatorname{cok} g → 0. \end{equation}
按部就班地写出正合复形间的态射, 及其 ker 与 cok:
由虚线连接处同调群相同, 得
(指标). 对泛函分析等学科, 时常出现一类态射 $f$, 其来源与去向未必是有限长度的, 但其 $\ker$ 与 $\operatorname{cok}$ 是有限长度的. 记 $ℓ(-)$ 是合成因子的长度向量 (对线性空间而言, 即 $\dim$). 记 \begin{equation} Φ (f) := ℓ (\ker f) - ℓ (\operatorname{cok} f). \end{equation} 此时, $Φ(g ∘ f) = Φ (g) + Φ (f)$.
六项序列的图记: