HW10
所有矩阵都是数域上的. 试完成 Problems.
(带主元选取的) LU 分解
(可逆方阵的 LU 分解). 试依次证明如下问题.
- 记方阵 $Q$ 的第 $k$ 个顺序主子式为左上角 $k \times k$ 部分. 假定 $Q \in \mathbb F^{n \times n}$ 的 $n$ 个顺序主子式可逆. 试证明, 存在行初等变换 $(Q \mid I) \to (U \mid L)$ 使得 $U$ 是上三角矩阵, $L$ 是下三角矩阵且对角线元素均为 $1$. 此时, $Q = L^{-1} U$ ($L^{-1}$ 也是主对角为 $1$ 的下三角矩阵).
- 假定 $n \times (n+1)$ 规格的矩阵 $A$ 行满秩, 则可以移除 $A$ 某列, 使得移除后的 $n \times n$ 矩阵可逆.
- 试证明任意可逆矩阵 $Q \in \mathbb F^{n \times n}$ 都可以写作 $Q = LUS$, 其中 $L$ 是下三角矩阵且对角线元素均为 $1$, $U$ 是上三角矩阵, $S$ 是置换矩阵.
- 简单说明, 并非所有可逆矩阵都能写作 $Q = LU$ 的形式.
- 可逆矩阵 $Q$ 能写作 $Q = LU$, 当且仅当 $Q$ 的所有顺序主子式均均可逆.
作为推论, 任意矩阵 $A \in \mathbb F^{m \times n}$ 可以写作乘积 $A = LRS$. 其中,
- $L\in \mathbb F^{m \times m}$ 是下三角矩阵, 且对角线元素均为 $1$;
- $R\in \mathbb F^{m \times n}$ 是阶梯形状的矩阵 (上三角矩阵在非方阵中的推广);
- $S\in \mathbb F^{m \times m}$ 是置换矩阵.
作为推论, 所有矩阵 $A \in \mathbb F^{m \times n}$ 可以写成乘积 $A = LJDUS$, 其中
- $L\in \mathbb F^{m \times m}$ 是下三角矩阵, 且对角线元素均为 $1$;
- $J\in \mathbb F^{m \times n}$ 是形如 $\binom{I \ \ O}{O \ \ O}$ 的矩阵;
- $D\in \mathbb F^{n \times n}$ 是对角矩阵, 且对角线元素均非零;
- $U\in \mathbb F^{n \times n}$ 是上三角矩阵, 且对角线元素均为 $1$;
- $S\in \mathbb F^{m \times m}$ 是置换矩阵.
可使用 sage 查看一个矩阵的 $ref$ 型与 $PA = LU$ 分解. 例如, 我们创建 $\mathbb Q$ 上的矩阵
A = matrix(QQ, [
[ 1, 1, 4, 5, 1, 4, 0, 0, 1],
[-1, 9,-1,-9, 8,-1, 0,-7,-7],
[ 1, 2,-3,-4, 5, 6,-7,-8, 9],
[ 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5],
[ 2, 7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 3]
]); # Create $A\in \mathbb Q^{m\times n}$
可以使用 A.rref() 计算 $A$ 的行最简形, 使用 P, L, U = A.LU() 计算 $PA = LU$ 分解, 其中 P 是置换矩阵.
矩阵与映射
行满秩矩阵的列数不少于行数. 请用尽量简洁的语言证明如下问题.
$A \in \mathbb F^{m \times n}$ 行满秩, 当且仅当以下等价命题成立:
- (行满秩的定义). $ref(A)$ 的每一行都有主元, 即不存在零行.
- $cef(A) = (I_m \quad O)$.
- $\mathbb F^m$ 的任意向量都能由 $A$ 的列向量线性组合得到.
- 列向量的映射 $\begin{bmatrix}\mathbb F^n &\to& \mathbb F^m \\ v &\mapsto& A\cdot v\end{bmatrix}$ 是满射.
- 存在 $R$ 使得 $AR = I_m$.
- $A$ 行线性无关.
- 行向量的映射 $\begin{bmatrix}\mathbb F^{1\times m} &\to& \mathbb F^{1 \times n} \\ u^T &\mapsto& u^T\cdot A \end{bmatrix}$ 是单射.
从映射角度看, 若 $A$ 和 $B$ 行满秩, 则 $AB$ 行满秩. 若 $AB$ 行满秩, 则 $A$ 行满秩.
给定矩阵 $B \in \mathbb F^{m \times m}$ 与 $C \in \mathbb F^{n \times n}$.
- 假定矩阵方程 $BXC = O$ 的解仅有 $X = O$, 则任何 $\mathbb F^{m \times n}$ 中的矩阵 $Y$ 都能写作 $Y = BXC$ 的形式.
- 假定矩阵方程 $BX = XC$ 的解仅有 $X = O$, 则任何 $\mathbb F^{m \times n}$ 中的矩阵 $Y$ 都能写作 $Y = BX - XC$ 的形式.
提示: 试回顾对方阵 $A$, 存在映射
$$\begin{equation} \begin{bmatrix}\mathbb F^n &\to& \mathbb F^n \\ v &\mapsto& A\cdot v\end{bmatrix} \end{equation}$$
这是单射 ($A$ 列满秩), 当且仅当这是满射 ($A$ 行满秩), 当且仅当这是双射 ($A$ 可逆).