HW11
基的定义
注意: 我们没有定义线性空间的维数.
选定域 $\mathbb F$ 上的线性空间 $V$. 定义两种关于子集 $S \subseteq V$ 的性质.
(性质一). 对任意 $v \in V$, 总存在线性组合 $$\begin{equation}
v = \sum _{i=1}^n c_i u_i,\quad u_i \in S, \quad c_i \in \mathbb F.
\end{equation}$$
(性质二). $S$ 是线性无关集. 换言之, 若有线性组合式 $$\begin{equation}
0 = \sum _{i=1}^n c_i u_i,\quad u_i \in S, \quad c_i \in \mathbb F
\end{equation}$$ 则必然有一切 $c_i = 0$.
试证明, 以下论述等价:
- $S$ 满足性质一, 且任意 $T$ ($T \subsetneq S$ 为真子集) 不满足性质一.
- $S$ 满足性质二, 且任意 $W$ ($S \subsetneq W$ 为真子集) 不满足性质二.
注意: 我们证明的是以上两条论述等价, 并不是证明性质一与性质二等价. \
这给出基的两种等价表述:
- 能通过线性组合复现空间的极小子集;
- 线性无关的极大子集.
(基). 如果存在上一题所说的情况, 则称 $S$ 是线性空间 $V$ 的一个基.
(维数). 如果线性空间 $V$ 的基是有限集, 则容易证明任意两个基大小相同, 称作线性空间的维数.
子空间的运算
(线性子空间, 简称子空间). 称子集 $U \subseteq V$ 是线性空间 $V$ 的子空间, 若 $U$ 是一个线性空间, 其继承了 $V$ 的加法与数乘.
给定线性空间 $V$, 以下 $U_i$ 都是 $V$ 的子空间.
(子空间的加法). 定义
$$\begin{equation} U_1 + U_2 := \{u_1 + u_2 \mid u_1 \in U_1, u_2 \in U_2\}. \end{equation}$$
注意: 子空间的并 ($\cup$) 一般不是子空间.
(子空间的交). 子空间的交就是集合的交, 其结果仍是一个子空间.
判断题. 若不成立, 则给出反例 (所有反例可以在 $\mathbb R^2$ 中找到).
- 他们的交有可能为空集.
- 如果 $(U_1 + U_2)\subseteq (U_1 + U_3)$, 则 $U_2 \subseteq U_3$.
- 如果 $U_1 \cup U_2$ 是子空间, 则 $U_1 \subseteq U_2$ 或 $U_2 \subseteq U_1$.
- $(U_1 \cap U_2) \cap U_3 = U_1 \cap (U_2 \cap U_3)$.
- $(U_1 + U_2) \cap U_3 = (U_1 \cap U_3) + (U_2 \cap U_3)$.
- $(U_1 \cap U_2) + U_3 = (U_1 + U_3) \cap (U_2 + U_3)$.
若 $U_1 \subseteq U_2$, 对任意 $U_3$, 总有
$$\begin{equation} U_1 + (U_3 \cap U_2) = (U_1 + U_3) \cap U_2. \end{equation}$$