BB 谱序列
证明
(Tilting 函子). 给定 tilting 模的要件 $(T_A,A^∙ → T,A → T^∙)$, 定义函子
- (右正合, 左伴随, 左导出) $G(-) := - ⊗_B T : 𝐦𝐨𝐝 _B → 𝐦𝐨𝐝 _A$;
- (左正合, 右伴随, 右导出) $F(-) := (T, -)_A : 𝐦𝐨𝐝 _A → 𝐦𝐨𝐝 _B$.
由维数结论, $G_{< -n} := L_{< -n}G$ 与 $F^{> n} := R^{> n}F$ 消失.
(BB 谱序列). 存在函子的谱序列使得对任意 $M ∈ 𝐦𝐨𝐝 _A$,
$$ E_2 = (L_{-p}G ∘ R^q)F(M) ⇒ H^{-p+q}(M). $$
此处 $H^{0}(M) = M$, 且 $H^{≠ 0}(M) = 0$.
对 $M$ 取内射分解 $M → I^∙$, 取 $A$ 的极小 $𝐚𝐝𝐝 (T)$-内射分解 $A → T^∙$. 此时, 同构
$$ GFM = (_BT_A,M_A) ⊗ _BT_A ≃ (T, M) ⊗_B (A, T) $$
给出了双复形 \begin{equation} (T, I^{∙ (q)}) ⊗ (T^{∙ (-p)} , T) ≃ (T^{-p}, I^{q})\quad (p ≤ 0, q ≥ 0). \end{equation}
这一双复形有两种表达, 分别使用了两种正合函子: $- ⊗_B (T′ , T)$ 与 $(-, I)_A$. 以上预备工作给出了 $GF M$ 的双复形表达:
($↑$ 向谱序列). 由 $(-, I^p)$ 是正合函子, 得 $E_{0,1,2}$ 如下:
($↑$ 谱序列, $E_0$).
($↑$ 向谱序列, $E_1$).
($↑$ 向谱序列, $E_2$).
由上述谱序列有限, 这一结果收敛至全复形的滤过同调群, 也就是轴复形 $M$ 的同调群. 因此, 存在谱序列
\begin{equation} \mathrm{Tor}^B_{-q}(T, \mathrm{Ext}^p_A(T, -)) ⇒ δ_{-p+q, 0}⋅ \mathrm{id} \end{equation}