$\varprojlim{}_{ℕ}^1$ 消失的充分条件
Abstract
以下推演一列 Abel 范畴中 $\lim^1$ 函子的基本事实, 及其在一般 Abel 范畴上的推广 (需要一些必要之假定). 重点模型是 Mittag-Leffler 条件, 以及 Mittag-Leffler 定理等经典例子.
塔与 $\varprojlim{}^1$
(Abel 群的投射塔). 即预层 $\mathrm{PSh}(\mathbb N)$, 其对象 (函子 $M$) 表现做映射链 \begin{equation} \cdots \xrightarrow{m_2} M_2\xrightarrow{m_1} M_1\xrightarrow{m_0} M_0. \end{equation} 记 $m:\prod_{\mathbb N} M_k\to \prod _{\mathbb N}M_k,\quad (x_k)_{k\in \mathbb N}\mapsto (x_k-m_k(x_{k+1}))$ 由泛性质 $\{p_{k}m=m_{k+1}p_{k+1}\}_{k\in \mathbb N}$ 确立. 记正合列
\begin{equation} 0\to {\varprojlim}^0 M\to \prod_{\mathbb N} M\xrightarrow{1-m}\prod_{\mathbb N} M\to {\varprojlim}^1 M\to 0. \end{equation}
其中, $1-m$ 自动对应如下泛性质确立的序列 ($\oplus$ 强调了双积)
(证明). ${\varprojlim}^0 M:=\mathrm{ker}(m)=\varprojlim M$ 是通常的极限.
给定逆像塔的正合列 $0\to X\to Y\to Z\to 0$, 依直积的正合型与蛇引理得长正合列 \begin{equation} 0\to {\varprojlim}^0X\to {\varprojlim}^0Y\to {\varprojlim}^0Z\to {\varprojlim}^1X\to {\varprojlim}^1Y\to {\varprojlim}^1Z\to 0. \end{equation}
(证明). ${\varprojlim}^1$ 是 $\varprojlim$ 的右导出函子.
上文构造性地证明了 $X_{\geq n}$ 的位移算子可裂满. 同理地, 一切 $m_k$ 可裂满蕴含 $M$ 的位移算子可裂满.
给定余预层 $A\in \mathrm{PSh}(\mathbb N^{\mathrm{op}})$ (正向塔), 得函子范畴的塔 \begin{equation} h^A:[\cdots \to (A_2,-)\to (A_1,-)\to (A_0,-)]. \end{equation} 记正向塔的位移运算为 $f$, 由 AB5 知 $(1-f)$ 是单态射. 短正合列 $0\to \coprod A\to \coprod A\to \varinjlim A\to 0$ 给出
依照 AB3, $\mathrm{Ext}^1$ 与 $\coprod$ 交换. 取 $\mathrm{Ext}^1(\varinjlim A,-)$ 处的合冲子得短正合列 \begin{equation} 0\to {\varprojlim}^1(A,-)\to \mathrm{Ext}^1(\varinjlim A,-)\to {\varprojlim}^0\mathrm{Ext}^1(A,-)\to 0. \end{equation}
对上述系统 $\mathbb N$, $\varprojlim^{\geq 2}$ 消失.
对 Abel 范畴而言, ${\varprojlim}^0=\varprojlim$ 是显而易见的, 附加足够多内射对象与 AB4* 可知 ${\varprojlim}^1=R^1\varprojlim$, 再附加 AB5 可得 \begin{equation} \mathrm{Ext}^1(\varinjlim A,-) / {\varprojlim}^1(A,-) ≃ \varprojlim \mathrm{Ext}^1(A,-). \end{equation}
(证明). 若 Abel 范畴 (对必要的条件) 完备, 且有投射生成元 $U$. 若逆向塔 $M$ 中的一切 $m_i$ 满, 则 $(1-m)$ 满.
Mittag-Leffler 条件
(Mittag-Leffler 条件). 假定范畴存在像. 函子 $(X,\varphi)\in \mathrm{PSh}(\mathbb N)$ 满足 Mittag-Leffler 条件, 若对任意 $n\in \mathbb N$, $\{\mathrm{im}(\varphi_{k,n} : X_k → X_n)\}_{k≥ n}$ 在有限步内驻定.
简单地说, $X_∞ \cdots → X_{n+1} → X_n$ 的像由某一 $X_k$ 完全决定.
假定特定的核与积存在, 则对具体范畴而言, Mittag-Leffler 条件给出极限 $\{(x_n)_{n\geq 0}\mid φ_{i,i + j}(x_i)=x_{i+j}\}$. 此时
是等价的逆像系统.
满足 Mittag-Leffler 的逆向塔等价某个子对象, 该子对象的中的态射都是满的.
逆像塔极限与拉回存在诸多神似之处, 例如其保持可裂满. 特别地, 若范畴具有投射生成元, 则满态射的拉回仍满.
基于同样的研究方式, 不妨猜想具有投射生成元的范畴中, 满态射组成的逆向塔具有满的位移态射, 并可将 $m_i$ 均满弱化至 Mittag-Leffler 条件.
分析学的 Mittag-Leffler 定理见此处.
$\varprojlim{}^1$ 消失的充分条件
(证明). 投射生成元保持并反射 Mittag-Leffler 条件.
(证明)模范畴中, Mittag-Leffler 条件使得 $\varprojlim ^1 = 0$.
结合以上两条引理, 得以下结论.
($\varprojlim{}_ℕ^1$ 消失的充分条件). 假定 $𝒜$ 是满足 AB4* 的局部小范畴. 假定范畴存在投射生成元, 则 Mittag-Leffler 条件使得 $\varprojlim ^1 = 0$.