$C^± ∼ τ ^±$

若 $M$ 是不可分解投射模, 则$C^+ M ≃ 0 ≃ τ M$. 今假定 $M$ 是不可分解非投射模. 考虑

$$ \begin{aligned} C^+M & ≃ (A , C_1^+\cdots C_n ^+M) \\ & ≃ (C_n^-\cdots C_1^- A, M)\\ & \overset ⋆ ≃ (τ⁻¹ A, M) \\ & ≃ (A, τ M)\\ & ≃ τ M. \end{aligned} $$

最后两行是依照遗传代数的 AR 公式. 同构 $⋆$ 来自以下两步数学归纳.

1. 依照引理, 每一 $C_i^-$ 将原图之 $P_i$ 变作新图之 $τ⁻¹ (P_i)$.
2. 对 $j > i$, 由左伴随可交换知 $C_j^-$ 保持 $P_i → τ⁻¹(P_i)$, 也就是 $C_j^-(τ⁻¹ (P_i))≃ τ ⁻¹ (C_j^-(P_i))$.