Kronecker quiver 的不可分解表示
Kronecker quiver 的表示
(Kronecker). 称 $Q = [1 ⇉ 2]$ 为 Kronecker quiver. 记 $α$ 与 $β$ 是上下箭头, 则路代数 $kQ$ 是矩阵代数
$$ kQ ≃ \begin{pmatrix} s & 0\\ xα ⊕ yβ & t \end{pmatrix}_{s,t,x,y ∈ k} ≃ \begin{pmatrix} s & 0 & 0\\ x & t & 0 \\ y & 0 & t \end{pmatrix}_{s,t,x,y ∈ k}. $$
预投射部分, 预内射部分
以下取 $Q$ 为 Kronecker quier. 涉及 Coxeter 反射的内容见此文.
(Kronecker quiver 的 Coxeter 矩阵). 对不可分解对象 $M ∈ 𝐫𝐞𝐩 (kQ)$, 定义维数向量 $𝐝𝐢𝐦 M = \binom{\dim M_1}{\dim M_2} =: \binom mn$. 依照此处计算以及 $C^± = τ ^±$, 得
$$ \begin{aligned} 𝐝𝐢𝐦 \ C^+M_{(∉ 𝐩𝐫𝐨𝐣)} & = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} ⋅ \binom mn = \binom{3m-2n}{2m-n}; \\[6pt] 𝐝𝐢𝐦 \ C^-M_{(∉ 𝐢𝐧𝐣)} & = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} ⋅ \binom mn = \binom{-m + 2n}{- 2m+ 2n}. \end{aligned} $$
需要提及, $C^+$ 将投射模映至 $0$, $C^-$ 将内射模映至 $0$.
(证明). 以下是 Kronecker quiver 的所有预投射模与预内射模:
- 预投射模的维数向量是 $\binom{n}{n + 1}$;
-
预投射模在同构的意义下形如
$$ k^n \ \overset A {\underset B ⇉} \ k^{n+1},\quad A = \binom{I_n}{0}, \ B = \binom{0}{I_n} ∈ k^{n × (n+1)}. $$
- 预内射模的维数向量是 $\binom{n+1}{n}$.
-
预内射模在同构的意义下形如
$$ k^{n+1} \ \overset A {\underset B ⇉} \ k^{n},\quad A = \binom{I_n}{0}^T, \ B = \binom{0}{I_n}^T ∈ k^{(n+1) × n}. $$
对 Kronecker quiver $a ⇉ b$ 上的预投射与预内射模 $M$, 维数向量唯一决定了同构类. 下使用 $[m ∣ n]$ 表示 $M$ ($𝐝𝐢𝐦 M = \binom mn$) 的同构类.
- 预投射模 $[n ∣ n+1]$, 包含投射模 $[1 ∣ 2]$ 与 $[0 ∣ 1]$;
- 预内射模 $[n+1 ∣ n]$, 包含内射模 $[2 ∣ 1]$ 与 $[1 ∣ 0]$;
- 正规模, 其结构暂不明确, 但是维数向量形如 $\binom nn$.
以是预投射与预内射部分的 AR quiver:
正规部分
依照 Coxeter 矩阵, 正规模 (既非预投射, 亦非预内射的模) 的维数向量必然是 $\binom{n}{n}$.
(证明). 若 $k$ 是代数闭域, 则正规模在同构的意义下形如 $\binom{I}{J_n (λ)}: k^n ⇉ k^n$. 其中 $J_n(λ)$ 是大小为 $n$ 的 Jordan 块. 约定 $\binom{I}{J_n (∞ )} := \binom{J_n (0)}{I}$.
(证明). 若 $k$ 不是代数闭域, 则正规模在同构意义下形如 $\binom{I}{J_n(λ)}$ ($λ ∈ k∪ \{∞\}$), 或是 $\binom{I}{J_s(C(f))} : k^n → k^n$. 此处, $C(f)$ 是 $k[x]$ 中不可约多项式对应的友矩阵, $J_s(C(f))$ 是有理标准型, 满足 $\deg f ⋅ J(s) = n$.
正规模对应 $ℕ_+ × ℙ_k^1$, 也就是带重数的素点.
需要提及, 正规部分的 AR quiver 存在环路. 例如以下均为不可约态射:
实际上, 正规模的 AR 平移是自身, 计算如下:
正规部分的 AR quiver 不连通, 且每一连通分支无限.