$C^-_i ⊣ C^+_i$
证明
若 $i$ 是 $Q_1$ 的 sink, 则 $C_i^+ : Q_1 ⇄ Q_2 : C_i ^-$ 是互逆的图运算. 此时存在伴随函子: \begin{equation} C_i ^- : \mathbf{rep}_k(Q_2) ⇄ \mathbf{rep}_k(Q_1) : C_i ^+. \end{equation}
下证明 $(C_i^-(N), M)_{kQ_2} ≃ (N, C_i ^+ (M))_{kQ_1}$. 表示的同态即若干交换图, 记 $𝒮 ⊆ Q_0$ 是 $i$ 及其邻点, 则无需考虑 $(C_i^-(N), M)_{kQ_2}$ 与 $(N, C_i ^+ (M))_{kQ_1}$ 在 $Q_0 ∖ 𝒮$ 中的交换性. 下考虑不妨假定 $𝒮 = Q_0$.
考虑下图:
$$ \begin{bmatrix} K & ↪ & ⨁ N_{∙ → i} & → & N_{i}\\ ⇣ & ▨ & ↓ & ⬔ & ⇣ \\ M_{i} & → & ⨁ M_{i→ ∙ } & ↠ & C \end{bmatrix}. $$
- 给定实竖箭头 $↓$, 则左虚箭头与右虚箭头唯一地决定彼此 (ker 与 coker 的泛性质);
- 给定实竖箭头, 所有可行的交换方块 $▨$ 构成 $(C_i^-(N), M)_{kQ_2}$;
- 给定实竖箭头, 所有可行的交换方块 $⬔$ 构成 $(N, C_i^+(M))_{kQ_1}$.
从而 $(C_i^-(N), M) ≃ (N, C_i^+(M))_{kQ_1}$, 这一同构是由 ker 与 coker 的泛性质诱导的.