完全 Coxeter 反射存在且唯一
证明
(完全 Coxeter 反射的存在性与唯一性, 证明). 存在 $σ ∈ 𝔖_{Q_0}$, 使得有自函子
$$ C^+ := C^+_{σ (n)} C^+_{σ (n-1)} \cdots C_{σ (1)}^+ : \mathbf{rep}_k (Q) → \mathbf{rep}_k (Q). $$
相应地记 $C^- = C^-_{σ (1)}C^-_{σ (2)}\cdots C^-_{σ (n)}$.
使用数学归纳法证明. 记命题 $P_n$ 如下:
- 对 $|Q_0| ≤ n$, 完全 Coxeter 反射 $C^-$ 存在.
显然 $P_1$ 成立, 下证明 $P_k → P_{k+1}$. 任取 $Q$ 使得 $|Q_0| = k + 1$, 由 $Q$ 有限无环, 不妨设 $(k+1) ∈ Q_0$ 仅有一个邻点. 对 $Q ∖ (k+1)$ 使用命题 $P_k$, 得删点子图的完全 Coxeter 反射 $C_{σ(∙)}^-$.
在可定义的情况下对 $Q$ 依次作用 $C_{σ(1)}^-$, $C_{σ(2)}^-$, 等等.
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若首个不合法的作用是 $C_{σ(l)}^-$, 则 $Q$ 中存在 $σ(k) ⇇ (k+1)$ 类型的子图. 在作用 $C_{σ(l)}^-$ 前安插 $C_{(k+1)}^-$ 即可. 此时, $Q$ 的完全 Coxeter 反射是
$$ C^-_{σ(k)} \cdots C^-_{(σ (l))} C^-_{(k+1)} C^-_{(σ (l-1))} \cdots C^-_{(σ (1))}. $$
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若不存在不合法的作用, 则 $Q$ 经所有 $C_{σ(∙)}^-$ 作用后必然存在 $σ(k) ⇉ (k+1)$-类型的子图. 最终作用一次 $C^-_{(k+1)}$ 即可. 此时, $Q$ 的完全 Coxeter 反射是
$$ C^-_{(k+1)} C^-_{σ(k)} \cdots C^-_{(σ (1))}. $$
特别地, $C^±$ 的定义与置换顺序 $σ$ 无关.
以下将频繁使用一则事实:
- 当且仅当 $C_i ^+ C_j ^+$ 与 $C_j ^+ C_i ^+$ 均良定义且相等, $i$ 与 $j$ 是没有公共邻点的 sink.
不妨假定 $C^+_{n} C^+_{ n-1} \cdots C_{ 1}^+$ 与 $C^+_{\sigma (n)} C^+_{\sigma (n-1)} \cdots C_{\sigma (1)}^+$ 均为完全 Coxeter 反射. 下考虑 $C_1^+$ 在右式中出现的位置, 由式 $\cdots C_1 C_{\sigma (σ^{-1}(1) - 1)}^+\cdots C_{\sigma (1)}^+$ 良定义, 且 $1$ 是原图的 sink, 则不存在 $σ ( ≤ σ^{-1}(1))$ 指向 $1$ 的边. 这给出移动: $$ C^+_{\sigma (n)} C^+_{\sigma (n-1)} \cdots C^+_{\sigma (1)} = C^+_{\sigma (n)} C^+_{\sigma (n-1)} \cdots {\color{blue}\widehat{C^+_1}}\cdots C^+_{\sigma (1)} {\color{red}C_1^+}. $$
归纳即可.