Torsion Pair 等价定义

Chencheng Zhang
April 22, 2025

证明

(Torsion pair 的等价定义). 称两个对象类 $(𝒯 , ℱ)$ 构成 torsion class, 若以下等价条件满足.

  1. $𝒯 ⟂_o ℱ$. 任意对象 $M$ 可嵌入正合列 $0 → tM → M → fM → 0$, 其中 $tM ∈ 𝒯$ 且 $fM ∈ ℱ$.
  2. 存在子函子 $t ↪ \mathrm{id}$ 使得 $t^2 ≃ t$, 以及 $t : \operatorname{cok}(t → \mathrm{id}) → 0$. 此时, $\ker t = ℱ$, $\operatorname{im} t = 𝒯$.
  3. 存在商函子 $\mathrm{id} ↠ f$ 使得 $f ≃ f^2$, 以及 $f : \operatorname{ker}(f ↠ \mathrm{id}) → 0$. 此时, $\ker f = 𝒯$, $\operatorname{im} f = ℱ$.
  4. ${}^oℱ = 𝒯$, 且 $ℱ = 𝒯^o$.
  5. $𝒯$ 对商对象与扩张封闭, $ℱ = 𝒯^o$.
  6. $ℱ$ 对子对象与扩张封闭, $𝒯 = {}^oℱ$.
  7. 任意 $𝐪𝐮𝐨𝐭(𝒯)$-滤过对象属于 $𝒯$, 并取 $ℱ := 𝒯^o$.
  8. 任意 $𝐬𝐮𝐛(ℱ)$-滤过对象属于 $ℱ$, 并取 $𝒯 := {}^oℱ$.

见下一引理.

(Torsion pair 的等价定义, 基于对称性的简化版本). 称两个对象类 $(𝒯 , ℱ)$ 构成 torsion class, 若以下等价条件满足.

  1. $𝒯 ⟂_o ℱ$. 任意对象 $M$ 可嵌入正合列 $0 → tM → M → fM → 0$, 其中 $tM ∈ 𝒯$ 且 $fM ∈ ℱ$.
  2. 存在子函子 $t ↪ \mathrm{id}$ 使得 $t^2 ≃ t$, 以及 $t : \operatorname{cok}(t → \mathrm{id}) → 0$. 此时, $\ker t = ℱ$, $\operatorname{im} t = 𝒯$.
  3. ${}^oℱ = 𝒯$, 且 $ℱ = 𝒯^o$.
  4. $𝒯$ 对商对象与扩张封闭, $ℱ = 𝒯^o$.
  5. 任意 $𝐪𝐮𝐨𝐭(𝒯)$-滤过对象属于 $𝒯$, 并取 $ℱ := 𝒯^o$.

证明顺序是 (1 ⟺ 2) ⇒ 3 ⇒ (4 ⟺ 5).
(1 ⇒ 2). 若 1., 今断言 ses $$ θ_M : 0 → tM → M → fM → 0 $$ 是唯一的. 若不然, 核与余核的泛性质给出分解 $$ \begin{bmatrix} tM & \overset{i}{↪ } & M & \overset{π }{↠ } & fM\\ α ⇅ β & & ∥ & & γ ⇅ δ \\ t'M & \underset{i'}{↪ } & M & \underset{π '}{↠ } & f'M \end{bmatrix}, $$ 使得 $i ∘ α = i'$, 以及 $i' ∘ β = i$, 这也建立了同构 $tM ≃ t'M$. 同理有 $fM ≃ f'M$. 依照类的选择公理, $t$ 是 $f$ 是函子. 特别地, 考虑 $θ_{tM}$ 知 $t^2M ≃ tM$, 以及 $t fM = 0$.
(2 ⇒ 1). 容易给出 ses 的构造 $$ 0 → tM → M → M / tM → 0. $$ 往后证明 $\operatorname {im} t ⟂_o \ker t$. 容易发现, $\operatorname {im} t$ 中对象形如 $tM$, $\ker t$ 中对象形如 $N/tN$.
对任意 $φ : tM → N/tN$, 显然 $φ$ 形如 $tM \xrightarrow a N ↠ tN$, 且 $a$ 通过 $tN ↪ N$ 分解. 因此 $φ =0$.
(1 ⇒ 3). $t$ 函子给出 $(\operatorname{im} t, \ker t)$. 下证明

  1. $(\operatorname{im} t)^o ⊆ \ker t$. 若 $(-,X)$ 零化一切 $\operatorname{im} t$, 则 $tX ↪ X$ 只能是零态射. 因此, $X ∈ \ker t$.
  2. $^o(\ker t) ⊆ \operatorname{im}(t)$. 若 $(Y,-)$ 零化一切 $\ker t$, 则 $Y ↠ Y/tY$ 只能是零态射. 因此, $Y ∈ \operatorname{im} t$.

(3 ⇒ 4). 实际上, 任意对象类的左垂直 $(^o𝒳)$ 对商对象与扩张封闭, 考虑反变 $\mathrm{Hom}$ 的左正合列即可.
(4 ⇒ 5). 若 $𝒯$ 对商对象与扩张封闭, 则自然对滤过封闭.
(5 ⇒ 4). 对任意 $M ∈ 𝐟𝐢𝐥(𝐪𝐮𝐨𝐭(𝒯))$. 取滤过

$$ \textstyle 0 = F_0 M ⊆ F_1 M ⊆ \cdots ⊆ F_n M = M\quad (\frac{F_{p+1}M}{F_p M} ∈ 𝒯). $$

  1. ($𝐟𝐢𝐥(𝐪𝐮𝐨𝐭(𝒯))$ 对商对象封闭). 假定 $Q$ 是 $M$ 的商对象, 记 $π : M ↠ Q$. 此时, $π(F_∙M)$ 是 $Q$ 的滤过, 且 $\frac{π(F_{p+1}M)}{F_pM}$ 是 $\frac{F_{p+1}M}{F_p(M)}$ 的商.

  2. ($𝐟𝐢𝐥(𝐪𝐮𝐨𝐭(𝒯))$ 对扩张封闭). 假定 ses

    $$ 0 → M \overset i→ E \overset p → N → 0\quad (M,N ∈ 𝐟𝐢𝐥(𝐪𝐮𝐨𝐭(𝒯))). $$

    记 $F_∙ M$ 与 $G_∙ N$ 是 $M$ 与 $N$ 的 $𝐪𝐮𝐨𝐭(𝒯)$-滤过, 拼接以下两则滤过:

    $$ 0 = i(F_0M) ⊆ i(F_1M) ⊆ \cdots ⊆ i(F_nM) = \operatorname{im}(i) $$

    与

    $$ \ker p = p^{-1}(G_0N) ⊆ p^{-1}(G_1N) ⊆ \cdots ⊆ p^{-1}(G_nN) = E. $$

    得 $E$ 的 $𝐪𝐮𝐨𝐭(𝒯)$-滤过.

(5 ⇒ 1). 往证 $X ∈ 𝒜$ 存在极大的 $𝒯$ 中子对象, 且这一子对象是最大的. 这要求

  1. $X$ 的子对象构成集合, 且
  2. 子对象集关于某种归纳极限封闭.

此处选取的 Abel 范畴是 $𝒜 = 𝐦𝐨𝐝_A$, 从而满足以上设定 (特别地, $𝐬𝐮𝐛 (X)$ 有限).

  1. (证明极大元存在性). 今取 $𝒮 := 𝐬𝐮𝐛 (X) ∩ 𝒯$, 显然 $0 ∈ 𝒮$ 非空, 从而存在极大元 $i : S ↪ X$.
  2. (证明极大元唯一性). 若 $𝒮$ 存在另一极大元 $i' : S' ↪ X$, 则单态射的推出 $S + S' := S \underset{i(S) ∩ i(S')}⊔ S$ 是 $𝒮$ 中对象. 依照极大元假定, 只能由 $S ≃ S'$, 也就是极大元唯一.

记极大元 $X_t$. 此时有函子的 ses $0 → X_t → X → \frac{X}{X_t} → 0$, 其中 $(-)_t$ 依照核的泛性质刻画. 依照构造, $((-)_t)_t ≃ (-)_t$. 今断言 $(X / X_t)_t = 0$, 若不然, 则可通过扩张构造 $𝒮$ 中比 $X_t$ 更大的对象. 矛盾.

4 ⟺ 5 说明, 对象类 $𝒳$ 关于商对象和扩张的闭包, 可通过先取商, 再取扩张实现.

若 Abel 范畴良幂, 且子对象对归纳极限封闭, 则以上命题等价性的证明仍奏效. 特例: Abel 长度范畴.

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