上同调函子保持弱核

只看共变情形. 给定同调函子 $f: 𝒯 → 𝒜$, 则有右正合函子

$$ F: 𝐦𝐨𝐝_𝒯 → 𝒜 ,\quad \mathrm{cok}(h_φ) ↦ \mathrm{cok}(F(φ)). $$

这一函子在相差一个范畴等价的意义下是唯一的.
对好三角 $W \xrightarrow u X \xrightarrow v Y$ 与 $X$ 处弱正合的态射列 $K \xrightarrow i X \xrightarrow v Y$, 以上两处复合态射都是 $0$. 依照弱核的泛性质, 存在 $α : W ⇆ K : β$ 使得 $i ∘ α = u$ 与 $u ∘ β = i$.

$$ \begin{bmatrix} K & \xrightarrow{i} & X & \xrightarrow{v} & Y\\ α ⇅ β & & ∥ & & ∥ \\ W & \xrightarrow{u} & X & \xrightarrow{v} & Y \end{bmatrix}. $$

因此 $\mathrm{im}(Fi) = \mathrm{im}(Fu) = \ker(Fv)$. 这说明同调函子 $F$ 保持弱核.