有限表现模, 投射模, 内射模, 平坦模的结构

有限表现模的等价判定方法:

1. $M = \mathrm{cok}(R^m → R^n)$;
2. $(M,-)$ 保持滤过余极限;
3. $M ⊗ -$ 保持积.

平坦模的等价判定方法:

1. $M ⊗ -$ 正合, 等价地,
   1. $M ⊗ -$ 保持单态射;
   2. $M ⊗ -$ 保持 $𝐦𝐨𝐝$ 的单态射;
   3. $M ⊗ -$ 保持理想的嵌入;
   4. $M ⊗ -$ 保持有限生成理想的嵌入;
   5. $\mathrm{Tor}(M,-) = 0$;
2. $M ⊗ -$ 自由对象的滤过余极限, 等价地,
   1. $M ⊗ -$ 是有限表现滤过对象的滤过余极限;
   2. $M ⊗ -$ 是投射对象的滤过余极限;
   3. $M ⊗ -$ 是有限表现投射对象的滤过余极限;
   4. 任意有限表现模出发的态射 $X → M$ 必然被某一有限生成自由对象分解;
   5. 任意有限表现模出发的态射 $X → M$ 必然被某一有限生成投射对象分解.
3. 矩阵方程 $𝐑 ⋅ 𝐦 = \mathbf 0$ 蕴含 $[𝐑 ⋅ 𝐀 = 𝐎] ∧ [𝐦 = 𝐀 ⋅ 𝐧]$;
4. 左正合列 $0 → (A, M) → M^n → M^m$ 可补全作 $M^l → M^n → M^m$;
5. 特征模 $X^+$ 是内射模.

关于特征模函子 $(-)^+ := (-, ℚ / ℤ)_ℤ : 𝐌𝐨𝐝 _R → 𝐌𝐨𝐝 _{R^{\mathrm{op}}}$ 的性质:

1. $M = 0$ 当且仅当 $M^+ =0$;
2. $f$ 单射 (满射) 当且仅当 $f^+$ 满射 (单射);
3. $θ$ 正合当且仅当 $θ^+$ 正合;
4. $X$ 平坦当且仅当 $X^+$ 内射;
5. $X$ 的平坦维数等于 $X^+$ 的内射维数.

内射模的等价判定方法;

1. $(-, M)$ 正合, 等价地,
   1. $(-, M)$ 将满射对应作单射;
   2. $\mathrm{Ext}^1(-, M) = 0$;
2. $M$ 提升一切单射, 等价地,
   1. $M$ 提升一切理想的包含;
   2. $M$ 的本性扩张必平凡;
   3. $M$ 出发的单射可列;
3. $M$ 是 $({_R}R^{∐ I})^+ ≃ ∏({_R}R^+)$ 的直和项.

投射模的等价判定方法

1. $(M, -)$ 正合, 等价地,
   1. $(M, -)$ 保持满射;
   2. $\mathrm{Ext}^1(M, -) = 0$;
2. $M$ 提升一切满射, 等价地,
   1. $M$ 收尾的满射可列;
3. $M$ 是自由模的直和项;
4. 存在投射基;
5. $M$ 是可数生成投射模的余积.