Coxeter 反射简介
Coxeter 反射: AR 平移的另一表示方式
约定所有 quiver 是有限无环的 (允许重边).
(sink, source). 给定 $Q = (Q_0, Q_1, s, t)$, 称
- $i ∈ Q_0$ 是 sink, 当且仅当 $s^{-1}(i) = ∅$;
- $i ∈ Q_0$ 是 source, 当且仅当 $t^{-1}(i) = ∅$.
反射函子初探
(图的 Coxeter 反射). 给定 quiver $Q$, 对任意 sink $i ∈ Q_0$, 定义 Coxeter 反射为反转指向 $i$ 的箭头: ̧
此处, $C_i$ 仅对 sink 定义.
(模 Coxeter 反射). 表示的 Coxeter 反射定义作如下函子
对给定 $X ∈ 𝐫𝐞𝐩(Q)$, $C_i X ∈ 𝐫𝐞𝐩 (C_iQ)$ 定义如下
- $X$ 与 $C_iX$ 在 $X_{≠ i}$ 与 $φ_{≠ [∙ → i]}$ 处相同 (仅有的改变是上图的着色部分);
- $(C_iX)_i$ 是 $⨁\limits_{t(f) = i}X_{s(f)}$ 的 ker-子模; 态射由投影 $⨁\limits_{t(f) = i}X_{s(f)} ↠ X_{a}$ 诱导.
从 $Q → Q'$ 到 $𝐫𝐞𝐩 (Q) → 𝐫𝐞𝐩 (Q')$ 保持方向.
($C_i^±$). 记 $C_i^+$ 是 sink 处的反射 (以上定义的 $C_i$), $C_i^-$ 是 source 处的反射. 若无歧义, 统一使用 $C_i^±$ 表示图的 Coxeter 反射与模的 Coxeter 反射.
(例子, Kronecker quiver). 给定 Kronecker quiver, 相应的 Coxeter 反射如下:
$C_i^±$ 是表示范畴间的加法函子. 其中, $C_i^± (φ)$ 由 kernel 或 cokernel 的泛性质诱导. $C_i^±$ 保持模的直和关系.
$C_i^±$ 几乎是等价
(证明) 若 $i$ 是 $Q_1$ 的 sink, 则 $C_i^+ : Q_1 ⇄ Q_2 : C_i ^-$ 是互逆的图运算. 此时存在伴随函子: \begin{equation} C_i ^- : \mathbf{rep}_k(Q_2) ⇄ \mathbf{rep}_k(Q_1) : C_i ^+. \end{equation}
$Q = →$. 对 $(f : A → B) ∈ 𝐫𝐞𝐩 (→)$, 有以下短正合列
最右项是 $𝐫𝐞𝐩$ 中的投射单对象, 从而正合列可列. 确实也有线性空间的直和 $\mathrm{im}(f) ⊕ \mathrm{cok}(f) ≃ B$.
容易计算,
- (单位, $i$ 是 source). $M ↠ C_i^+ C_i^- M$ 是投影.
- 合并 $i$ 处指出的箭头, 得态射 $φ : M_i → ⨁ M_{≠ i}$. 商对象 $C_i^+ C_i^- M$ 在 $i$ 处的分量是 $\mathrm{coim}(φ)$.
- 若 $φ$ 是单的, 则 $M ≃ C_i^+ C_i^- M$.
- $M ≃ C_i^+ C_i^- M ⊕ S_i^{\dim \ker (φ )}$.
- (余单位, $i$ 是 sink) $C_i^- C_i^+ N ↪ N$ 是嵌入.
- 合并 $i$ 处指入的箭头, 得态射 $ψ : ⨁ _{ ≠ i} → N_i$. 子对象 $C_i^- C_i ^+$ 在 $i$ 处的分量是 $\mathrm{im}(ψ)$.
- 若 $ψ$ 是满的, 则 $C_i^- C_i^+ N ≃ N$.
- $N ≃ C_i^- C_i^+ N ⊕ S_i^{\dim \mathrm{cok}(ψ )}$
反射函子 $C_i^±$ 极大地分离出半单 $S_i$-部分.
(证明). Coxeter 反射 $C_i^±$ 保持不可分解模; 除了映 $S_i$ 至 $0$.
基于以上引理, 不难得到:
假定 $C_i ^- : Q_1 ⇆ Q_2 : C_i^+$. 记 $𝐢(Q_i)$ 是 $𝐦𝐨𝐝_{kQ_i}$ 中的不可分解对象 (的同构类), 则以下是双射:
$$ C_i^- : 𝐢 (Q_1 ∖ \{S_i\}) ⇆ 𝐢 (Q_2 ∖ \{S_i\}) : C_i^+. $$
(反射的例子). 考虑 $D_4$ 型 quiver 的反射, 比较如下 AR quiver:
可以发现, 在 $C_3^±$ 建立了不可分解对象的双射 ($S(3)$ 除外), 同时保持 $\mathrm{Irr}$-空间维度.
完全 Coxeter 反射与 AR 转置
以下是一个自然的想法: 若存在一列遍历所有 $Q_0$ 的反射 $C_{i_k}^+$ 使得 $C^+_{i_n} \cdots C_{i_1}^+$ 可复合, 则得自函子 $𝐫𝐞𝐩_k(Q) → 𝐫𝐞𝐩_k(Q)$. 实际上, 这一自函子存在且唯一.
(完全 Coxeter 反射的存在性与唯一性, 证明). 存在 $σ ∈ 𝔖_{Q_0}$, 使得有自函子
$$ C^+ := C^+_{σ (n)} C^+_{σ (n-1)} \cdots C_{σ (1)}^+ : \mathbf{rep}_k (Q) → \mathbf{rep}_k (Q). $$
相应地记 $C^- = C^-_{σ (1)}C^-_{σ (2)}\cdots C^-_{σ (n)}$. 特别地, $C^±$ 的定义与置换顺序 $σ$ 无关.
(证明). 投射模与内射模在完全 Coxeter 分解下的表现如下.
- 投射模经 $C^+$ 消失, 换言之, $C^+ P = 0$;
- 若 $C^+M = 0$, 则 $M$ 是投射模;
- $C^+C^-M$ 是不含投射对象的极大直和项;
- 内射模经 $C^-$ 消失, 换言之, $C^- I = 0$;
- 若 $C^-M = 0$, 则 $M$ 是内射模;
- $C^-C^+M$ 是不含内射对象的极大直和项.
(证明). 若 $i$ 是 source, 对不可分解投射对象 $P_i ∈ 𝐦𝐨𝐝_{kQ}$, 则 $τ⁻¹ (P_i)$ 与 $C_i^-P_i$ 是 $𝐦𝐨𝐝_{kC_i^- Q}$ 中同构的模.
(完全 Coxeter 反射就是 AR 平移, 证明). $C^+ M ≃ τ M$.
对偶地, $C^- = τ ⁻¹$.