谈谈遗忘函子

Chencheng Zhang
May 3, 2025

出发点: 本质满, 全, 忠实

群 $+$ 结构 $=$ 线性空间; 群 $+$ 性质 $=$​ Abel 群.

区别之一: 结构不改变同构类. 例如 $U$ 与 $V$ 的类型是集合,

  1. 假定 $U$ 和 $V$ 也能作成 $k$-线性空间, 我们称 $k$-线性空间是一种结构. 注意到真包含关系

    $$ \{U\xrightarrow f V: \text{$f$ 是线性空间的同构}\}\subset \{U\xrightarrow f V: \text{$f$ 是集合的同构 (即双射)}\}. $$

  2. 假定 $U$ 和 $V$​ 是非空集合, 我们称非空是一种性质. 注意到恒等关系 $$ \{U\xrightarrow f V: \text{$f$ 是非空集合的同构}\}= \{U\xrightarrow f V: \text{$f$ 是集合的同构}\}. $$

(本质满, 全, 忠实).

  • 本质满: 任取对象 $Y\in \mathscr D$, 总存在 $FX\simeq \mathscr C$;
  • 全: 任取态射 $g \in \mathscr D$, 总存在 $Ff = g$.
  • 忠实: 任取 $2$-态射 $\beta\in \mathscr D$, 总存在 $\alpha\in \mathscr C$ 使得 $F\alpha =\beta$.

(范畴视角的映射). 记 $f:X\to Y$ 是集合的映射. 若将 $X$ 与 $Y$ 看作离散范畴, 则 $f$ 是范畴的函子. 特别地,

  1. 若 $f$ 是满射, 当且仅当 $f$ 是本质满的;
  2. 若 $f$ 是单射, 当且仅当 $f$ 是全的;
  3. $f$ 必然是忠实的, 因为映射良定义.

(广群). 称范畴 $\mathscr C$ 是广群, 当且仅当 $\mathscr C$ 中态射可逆.

  • $\mathrm{Iso}(\mathscr C)$ 是广群, 同时 $\mathrm{Iso}(-)$ 有类似函子性的特点: 函子 $F:\mathscr C\to \mathscr D$ 诱导了 $\mathrm{Iso}(F)$.
  • 粗略地看, $\mathrm{Funct}_{\mathrm{Iso}}(\mathrm{Iso}(\mathscr C),\mathscr G)\simeq \mathrm{Funct}(\mathscr C,U(\mathscr G))$​​​​ 是伴随.

遗忘

(广群函子带来的遗忘). 假定 $F:\mathscr C\to \mathscr D$ 是广群之间的函子, 我们关注 $F$ 可以遗忘多少信息.

  1. 称 $F$ 没有遗忘任何信息, 若 $F$ 是本质满, 全, 且忠实的.

    • 例子: (Morita 等价) 记 $f:k\to k^{n\times n},\quad c\mapsto c\cdot I$ 是 $k$-代数的单同态. 则 $f^\ast$ 给出 $k^{n\times n}$-模范畴到 $k$-模范畴的函子. 特别地, $\mathrm{Iso}(f^\ast)$ 没有遗忘任何信息.

  2. 称 $F$ 至多遗忘了性质, 当且仅当 $F$​ 是全, 且忠实的.

    • 例子: ($H_0(-,\mathbb Z)$ 的右伴随: 交换群向群的遗忘) 记 $U:\mathrm{Mod}_{\mathbb Z}\to \mathrm{Grp}$ 是全忠实的遗忘函子, 则 $\mathrm{Iso}(U)$ 也是全忠实的; 但显然不是本质满的. 此时, $\mathrm{Iso}(U)$ 遗忘了交换性.

  3. 称 $F$ 至多遗忘了结构, 当且仅当 $F$​ 是忠实的.

    • 例子: 群向集合的遗忘函子 $U:\mathrm{Grp}\to \mathrm{Sets}$ 是忠实的, 从而 $\mathrm{Iso}(U)$ 忠实; 但 $\mathrm{Iso}(U)$ 不全 (集合双射不必由遗忘给出), 且并非本质满 (空集不是群的遗忘). 此时, $\mathrm{Iso}(U)$ 遗忘了群结构.

  4. 其他情况 ($F$ 至多遗忘了物件).

    • 例子: 考虑记拓扑空间 (景) $\mathscr C$ 的开覆盖范畴 $J_{\mathscr C}$, 其对象是二元组 $\mathscr U:=(\{U_i\xrightarrow {u_i} U\}_{i\in I}, U)$, 态射是三元组

      $$ (\varphi, \phi , \alpha):\mathscr U\to \mathscr V,\quad \left[U_i\xrightarrow{\varphi_i} V_{\alpha(i)}\xrightarrow{v_{\alpha(i)}} V\right] = \left[ U_i\xrightarrow{u_{i}} U\xrightarrow \phi V\right]. $$

      此时 $J_{\mathscr C}$ 可以遗忘作 $\mathscr C$, 方式是仅保留被覆盖的对象. 此时 $\mathrm{Iso}(U)$ 遗忘了开覆盖这一物件 (而非结构).

(遗忘). 考虑通常范畴间的函子 $F:\mathscr C\to \mathscr D$.

  • $F$ 遗忘性质, 但保留物件与结构, 当且仅当 $F$​​ 是全忠实的.

    • 例如 $U:\mathrm{CommRing}\to \mathrm{Ring}$ 遗忘了交换性; 但保全了环结构等, 以及 underlying set 等物件.

  • $F$ 遗忘结构, 但保留物件与性质, 当且仅当 $F$​ 是本质满且忠实的.

    • 例如 $U:\mathrm{Banach}_{\mathbb R}\to \mathrm{Vect}_{\mathbb R}$​ 遗忘了赋范结构; 但保全了加法交换律, 结合律等性质, 以及 underlying set 等物件.

  • $F$ 遗忘物件, 但保留性质与结构, 当且仅当 $F$ 是本质满且全的.

    • 例如平凡函子 $\mathrm{Sets}\to \bullet$ 遗忘了 underlying set 这一物件; 但保全了结构和性质 (尽管是以平凡的形式).

像

将映射视作离散范畴的函子, 类似升维的操作. 对一般范畴间函子, 如何定义像?

(像). 函子的像. 给定通常范畴的函子 $F:\mathscr C\to \mathscr D$.

  • 与集合间的映射类似, 范畴间的函子可以进行满-单分解的类似操作.

基于以上考量, 我们定义 $1$-像与 $2$-像. 拆解方式是

$$ \mathscr C\to \mathrm{im}^2(F)\to \underset{\text{常用的像}}{\underbrace{\mathrm{im}^1(F)}}\to \mathscr D. $$

  • $\mathrm{im}^2(F)$​​​ 的定义类似稳定范畴, 具体地, $\mathrm{im}^2(F)$ 是如下范畴: $\mathsf{Ob}(\mathrm{im}^2(F))=\mathsf{Ob}(\mathscr C)$,

    $$ (X,Y)_{\mathrm{im}^2(F)}:=(X,Y)_{\mathscr C}/\sim \quad (f\sim g\iff Ff=Fg). $$

    在范畴等价的意义下, $\mathrm{im}^2(F)$ 就是通常的 $\mathrm{im}(F)$.

  • $\mathrm{im}^1(F)$ 是如下范畴: $\mathsf{Ob}(\mathrm{im}^1(F))=\mathrm{Ob}(\mathscr C)$,

    $$ (X,Y)_{\mathrm{im}^1(F)}:=(FX,FY)_{\mathscr D}. $$

(满-单分解的唯一性). 对函子 $F:\mathscr C\to \mathscr D$, 存在范畴等价意义下唯一的分解:

$$ \mathscr C\xrightarrow {\text{本质满, 全, 不忠实}}\mathrm{im}^2(F)\xrightarrow {\text{本质满, 不全, 忠实}}\mathrm{im}^1(F)\xrightarrow {\text{不本质满, 全, 忠实}}\mathscr D. $$

将对象, 态射, $2$-态射的从属关系写作三元组, 则

$$ (\mathscr C,\mathscr C,\mathscr C)\xrightarrow{\text{仅遗忘物件}} (\mathscr C,\mathscr C,\mathscr D)\xrightarrow{\text{仅遗忘结构}} (\mathscr C,\mathscr D,\mathscr D)\xrightarrow{\text{仅遗忘性质}} (\mathscr D,\mathscr D,\mathscr D). $$

从子集与商集的角度出发, 可以在必要时定义 $\mathrm{coim}^{1,2}$.

$$ \begin{bmatrix} & & \mathrm{im}^{2} & \rightarrow & \mathrm{im}^{1} & \rightarrow & \mathscr{D}\\ & & \sim \,\uparrow \quad & & \sim \,\uparrow \quad & & \\ \mathscr{C} & \rightarrow & \mathrm{coim}^{2} & \rightarrow & \mathrm{coim}^{1} & & . \end{bmatrix} $$

此处 $\mathrm{coim}$ 一路取商关系, $\mathrm{im}$​​ 一路取子关系.

凡函子皆遗忘

(Tame example). 记 $U:\mathrm{Grp}\to \mathrm{Sets}$ 是交换群的遗忘函子, 则分解如下:

$$ \mathrm{Grp}\to \mathrm{Grp}\to \mathrm{Sets}\setminus \emptyset \to \mathrm{Sets}. $$

  • 这说明从群向集合的遗忘应当 (唯一地) 分解如下: 不遗忘任何物件, 遗忘群的结构 (保留非空集合), 最后遗忘集合非空的性质.

(Wild example). 既然单射可以视作满射, 获得结构也可以视作特殊的遗忘. 例如 $F:\mathrm{Set}\to \mathrm{Mod}_R$ 将 $S$ 映至自由模 $R^{\oplus |S|}$.

  1. $F$ 是忠实的, 因为更换指标的方式唯一决定了模同态. 因此, $F$ 不遗忘任何物件.

  2. $F$ 并非全的, 从而 $F$ 应当遗忘了某些结构. 此处遗忘的结构等价于以下短语:

    • 自由模的同态只有换指标这一种形式.

    换言之, $F$ 遗忘了单点不可分解这类性质.

  3. $F$​ 是本质满的, 从而不遗忘任何性质.

任何函子都是遗忘函子, 遗忘的东西只有显然与不显然 (差一个范畴同构) 之别.

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