$(1-m)$ 满的充分条件
证明
若 Abel 范畴 (对必要的条件) 完备, 且有投射生成元 $U$. 若逆向塔 $M$ 中的一切 $m_i$ 满, 则 $(1-m)$ 满.
由投射生成元的性质, $(1-m)$ 满当且仅当 $(U, 1-m)$ 满, 即 $φ:U→ ∏ M$ 总能被 $(1-m)$ 提升作 $ψ$. 从元素角度视之, 常数 $(φ_n)$ 与未知元 $(ψ_n)$ 满足方程 \begin{equation} \psi_k-m_k\psi_{k+1}=\varphi_k\quad (\forall k\in \mathbb N). \tag{⋆} \end{equation}
以上方程组有解当且仅当 $(1-m)$ 满.
以下归纳地求解方程组即可. 无论 $ψ_0$ 取何值, 提升问题 $m_0 ∘ ψ_1=(φ _0-ψ_0)$ 总存在解 $ψ_1$, 这是因为 $m_0$ 满且 $U$ 是投射生成元. 归纳地, $\{ψ_k\}_{k≥ 0}$ 都能解出, 从而方程组 $⋆$ 有解.