预投射对象的左起点是投射单对象
证明
(不可约态射链的左起点). 若 $M$ 预投射, 则存在单的投射模 $P$ 使得 $P → \cdots → M$ 是一列不可约态射. 特别地, 极大的 $\cdots → M$ 必然以投射单模为起点.
取投射对象 $P(0) := τ^k M$, 进行以下归纳:
- 若 $P(0)$ 单, 则证明完毕;
- 若 $P(0)$ 非单, 则任取 $\mathrm{Rad}(P(0))$ 的不可分解直和项 $M_1$. 存在 $k$ 使得 $P(1) := τ^k M_1$ 投射, 返回上一条.
这一归纳必在有限步内结束, 因为不可分解投射模有限, 且预投射分支无环. 显然, 极长的链需要以投射对象 $P$ 收尾, 且 $\mathrm{Rad}(P) ≠ 0$.