对无限表示代数, $Γ(A)$ 各分支均无限
证明
对连通的有限维代数 $A$, 以下等价:
- $A$ 有限表示;
- $Γ(A)$ 存在某个连通分支 $Δ$, $Δ$ 是有限集;
- $Γ(A)$ 存在某个连通分支 $Δ$, $Δ$ 中对象的合成列长度有一致上界.
只看 (3 ⇒ 1). 依照 Harada-Sai 引理, 存在 $n$ 使得 $Δ$ 中任意 $≥ n$ 个不可约态射之复合为 $0$. 下依次证明:
- ($Δ$ 中存在单对象). 对任意 $M ∈ Δ$, 取单对象 $S = \mathrm{Soc}(M) ↪ M$. 若 $S ∉ Δ$, 则非零态射 $S ↪ M$ 通过右极小几乎可裂态射 $⨁E_i → M$ 分解. 此时存在非零的不可约态射链 $S → M_1 → M$. 同理, 由 $S → M_1$ 非同构, 则得存在 $S → M_2 → M_1 → M$ 类型的复合非零的不可约态射链. 这一归纳可以持续进行, 和 Harada-Sai 引理矛盾.
-
($Δ$ 中存在所有单对象). 任意 $α ∈ Q_1$ 给出模
$$ M_α = [\cdots 0 → k = k → 0 → \cdots ]. $$
其中, 态射 $S_{t(α)} ↪ M_α$ 与 $M_α ↠ S_{s(α)}$ 非零. 由上述归纳, $S_{t(α)} ∈ Δ$ 当且仅当 $S_{s(α)} ∈ Δ$. 由 quiver 连通, 所有单对象属于 $Δ$
- ($Δ$ 中存在所有对象). 考虑非零态射 $\mathrm{Soc}(N) ↪ N$, 细节略.
一般地, 若 $(M, N) ≠ 0$, 则 $N$ 与 $M$ 未必属于同一连通分支.
对 Kronecker quiver, 记不可分解对象 $M := k \underset 1 {\overset 0 ⇉} k$.
- $M$ 所在的连通分支恰包含一切 $M_n := k^n \underset I {\overset {J_n(0)} ⇉} k^n$ 类型的不可分解模. 特别地, 这一连通分支有环, 且对象的合成列长度没有一致上界.
- 对投射单模 $P_1 := 0 \underset 0 {\overset 0 ⇉} k$, 非零单态射 $P_1 → M$ 通过 $M_2$ 分解, 进而通过所有 $M_1 → \cdots → M_k$ 分解.
以上, 我们构造了能通过任意长不可约态射链分解的非零态射, 这与 $Γ$ 不连通并不矛盾.