Happel 的导出等价定理 (第一部分证明)

以下使用数学归纳法证明. 记 $P(m,n)$ 是:

• 对一切长度不超过 $m$ 与 $n$ 的复形 $P$ 与 $Q$, 以下是同构

  $$ (P,Q)_{K^b(𝐚𝐝𝐝 (T))} → (P,Q)_{K^b𝒜} → (P,Q)_{D^b 𝒜}. $$

显然 $P(0,0)$ 成立, 因为对轴复形 $X,Y ∈ C^b (𝐚𝐝𝐝(T))$ 总有 $\mathrm{Ext}^{≥ 1}(X,Y) = 0$.
下进行归纳, 假定 $P(≤ m, ≤ n)$ 成立. 对任意长度为 $m+1$ 的 $X$, 考虑强制截断, 则有同伦范畴以及导出范畴的好三角 $LX → X → RX → LX[1]$. 对 $(-,Y)_{K^b(𝐚𝐝𝐝 (T))}$ 与 $(-,Y)_{D^b 𝒜}$ 使用同调代数基本定理, 得交换图

$$ \scriptsize\begin{bmatrix} ( LX[ 1] ,Y)_{K^{b}(\mathbf{add}( T))} & \rightarrow & ( RX,Y)_{K^{b}(\mathbf{add}( T))} & \rightarrow & ( X,Y)_{K^{b}(\mathbf{add}( T))} & \rightarrow & ( LX,Y)_{K^{b}(\mathbf{add}( T))} & \rightarrow & ( RX[ -1] ,Y)_{K^{b}(\mathbf{add}( T))}\\ \parallel & & \parallel & & \downarrow & & \parallel & & \parallel \\ ( LX[ 1] ,Y)_{D^{b} 𝒜 } & \rightarrow & ( RX,Y)_{D^{b} 𝒜 } & \rightarrow & ( X,Y)_{D^{b} 𝒜 } & \rightarrow & ( LX,Y)_{D^{b} 𝒜 } & \rightarrow & ( RX[ -1] ,Y)_{D^{b} 𝒜 } \end{bmatrix} $$

此时, 中间箭头是同构. 这完成了归纳 $P(≤ m, ≤ n) ⇒ P(≤ m+1, ≤ n)$. 另一方向同理. 综上, 以上 $K^b(𝐚𝐝𝐝 (T)) → D^b 𝒜$ 是全忠实的.