模范畴中 Mittag-Leffler 条件蕴含 $\varprojlim{}^1$ 消失

只需证明对任意 $\mathrm{PSh}(\mathbb N)$ 的 ses

$$ 0\to (X,f)\xrightarrow ι (Y,g)\xrightarrow π (Z,h)\to 0 $$

$\varprojlim$ 是正合函子.

所谓 $\varprojlim (π)$ 满, 即任意 $(z_k)∈ \varprojlim Z$ 存在 $(Y,g)$ 中的原像.

• $\varprojlim (π)$ 并不显然. 尽管任意有限长度的 $(z_k)_{k ≤ N}$ 可以找到原像, 但无限序列未必 (需要某些一致性的条件). Mittag-Leffler 条件将这一一致性条件转化作分段有限的条件, 最后使用 (可数) 选择公理即可.

下只需证明 $(π_k^{-1}(z_k))$ 是 Mittag-Leffler 系统, 使得

1. 该系统是 $Y$ 的子对象, 因为 $g_k((\pi_{k+1}^{-1}(z_{k+1})))\hookrightarrow (\pi_k^{-1}(z_k))$ 是直接的.
2. 该系统包含 $\mathrm{im}(f)$, 即, 存在较大的 $n(k)$ 使得 $\mathrm{im}(f_{n(k)})\hookrightarrow \pi_{k}^{-1}(z_k)$. 实际上, 该系统就是陪集 \begin{equation} \mathrm{im}(f_n)+y_k\quad (\forall y_k\in \pi_k^{-1}(z_k)). \end{equation}

对限制在 $\pi^{-1}$ 上的态射 $g'$ ($Y$ 子系统的态射), $\{g'_{n,k}\}_{n\geq k}$ 在 $n\geq n_0$ 时驻定. 此处, 参数 $n_0$ 可直接取上述 $n(k)$.