遗传范畴的满-单分解补全作 PBPO
证明
在定义米田 (大) 群时, 不必要求范畴是局部小的. 以上结论亦无此要求然.
遗传范畴中的满单分解均可补全作推出拉回方块.
给定满-单态射复合 $\overset π ↠ \overset ι ↪$. 考虑 ses
$$ θ : 0 → K → X \overset π → C → 0 $$
由 $\mathrm{Ext}^2(-, K)$ 消失, $\mathrm{Ext}^1(ι, K)$ 是满态射. 这说明 $θ$ 是某 ses 关于 $ι$ 推出的像, 换言之, 存在正合列的交换图
$$ \begin{bmatrix} 0 & → & K & → & X & \xrightarrow π & C & → & 0\\ & & ∥ & & ⇣ & ▦ & \ \ ↓ι & & \\ 0 & → & K & ⇢ & E & ⇢ & F & → & 0 \end{bmatrix}. $$
此处 $▦$ 即为所求.
(关于 $3 × 3$-引理). 考虑 $3 × 3$ 的短正合列的交换图
$$ \begin{bmatrix} & X_{1} & \overset{i_{1}}{\hookrightarrow } & Y_{1} & \overset{p_{1}}{\twoheadrightarrow } & Z_{1}\\ & f_{1} \downarrow \ \ & & g_{1} \downarrow \ \ & & h_{1} \downarrow \ \ \ \\ & X_{2} & \overset{i_{2}}{\hookrightarrow } & Y_{2} & \overset{p_{2}}{\twoheadrightarrow } & Z_{2}\\ & f_{2} \downarrow \ \ & & g_{2} \downarrow \ \ & & g_{2} \downarrow \ \ \\ & X_{3} & \overset{i_{3}}{\hookrightarrow } & Y_{3} & \overset{p_{3}}{\twoheadrightarrow } & Z_{3} \end{bmatrix}. $$
此时有四项正合列的交换图:
$$ \begin{bmatrix} θ: & X_{1} & \xrightarrow{\binom{i_{1}}{-f_{1}}} & X_{2} \oplus Y_{1} & \xrightarrow{( g_{1} \ i_{2})} & Y_{2} & \xrightarrow{g_{2} \circ p_{2}} & Z_{3}\\ & \parallel & & \pi \downarrow \ \ & & p_{2} \downarrow \ \ & & \parallel \\ η: & X_{1} & \xrightarrow{i_{1}} & Y_{1} & \xrightarrow{h_{1} \circ p_{1}} & Z_{2} & \xrightarrow{g_{2}} & Z_{3} \end{bmatrix}. $$
因此, 以上 $η$ 与 $θ$ 是 $\mathrm{Ext}^2(Z_3, X_1)$ 中相同的元素.
类似地, $X_1 → Y_1 → Z_2 → Z_3$ 与 $(-θ)$ 是 $\mathrm{Ext}^2(Z_3, X_1)$ 中相同的元素. 这说明以下两条四项正合列在 $\mathrm{Ext}^2(Z_3, X_1)$ 中互为相反数.
$$ \begin{bmatrix} X_{1} & \rightarrow & Y_{1} & & \\ \downarrow & & & \searrow & \\ X_{2} & & & & Z_{2}\\ & \searrow & & & \downarrow \\ & & Y_{3} & \rightarrow & Z_{3} \end{bmatrix}. $$