$𝐠𝐞𝐧 = 𝐓$ 或 $𝐜𝐨𝐠 = 𝐅$ 的充分条件

仅看第一问. 由 $𝐠𝐞𝐧(X)^o = X^o$, 只需说明 $𝐠𝐞𝐧(X)$ 是 torsion class. 等价地, 只需说明 $𝐠𝐞𝐧(X)$ 对扩张封闭.
假定 ses $0 → K → M → C → 0$, 其中 $K, C ∈ 𝐠𝐞𝐧(X)$. 由 $\mathrm{Ext}^1(X, 𝐠𝐞𝐧(X))$, 得 ses

$$ 0 → (X,K) → (X,M) → (X,C) → 0. $$

此时有正合列的交换图

$$ \begin{bmatrix} & & ( X,K) ⊗ X & → & ( X,M) ⊗ X & → & ( X,C) ⊗ X & → & 0\\ & & ↓ & & ↓ & & ↓ & & \\ 0 & → & K & → & M & → & C & → & 0\\ & & ↓ & & ↓ & & ↓ & & \\ & & \operatorname{cok}_{K} & & \operatorname{cok}_{M} & & \operatorname{cok}_{C} & & \end{bmatrix}. $$

依照此结论, $\operatorname{cok}_X = 0$ 当且仅当 $X ∈ 𝐠𝐞𝐧(X)$. 特别地, 若 $\operatorname{cok}_K$ 与 $\operatorname{cok}_C$ 均为 $0$, 则 $\operatorname{cok}_M = 0$. 因此 $𝐠𝐞𝐧$