八面体公理的等价定义

先看看 $(-,B)$ 处正合性.

1. 由函子性, $\ker (g ∘ - ) ⊇ \mathrm{im}(f ∘ -)$.
2. 若 $h ∈ \ker (g ∘ - )$, 则有 $𝔼$ 三角间的交换图
   
   
   

   因此 $h ∈ \mathrm{im}(f ∘ -)$.

再看 $(-,C)$ 处正合性.

1. 对任意 $h ∈ \mathrm{im}(g ∘ - )$, 不妨记作 $g ∘ l$. 下证明 $δ_!(g ∘ l) = 0$. 由定义, 只需证明 $l^∗g^∗δ = 0$. 下图表明 $g^∗ δ =0_∗ (0)$:
   
   
   
2. 若 $δ_!(h) = 0$, 下证明 $h$ 通过 $g$ 分解. 由 $𝔰(δ_!(h))$ 是可裂短正合列, 对于中项加上适当的同构, 得交换图
   
   
   

   此处 $s$ 即为所求.

下证明 $𝔼 (- ,A)$ 处的正合性.

1. 对任意 $δ_!$ 的像, 即形如 $h^∗ δ$ 的正合列, 下证明 $f_∗(h^∗ δ) = 0$. 直接地, $f_∗ δ = 0$.
2. 若 $η ∈ 𝔼 (-, A)$ 满足 $f_∗ η = 0$, 下证明 $η$ 形如 $δ$ 的拉回. 仍不妨设 $f_∗ η$ 是直和形式, 则下图给出分解 $f = sa$:
   
   
   

   由 $f$ 通过 $s$ 分解, ET3 给出的虚线处态射即为所求:

   
   
   
   

最后考虑 $𝔼(-, B)$ 处的正合性.

1. 一方面, 函子性表明 $\mathrm{ker} (g_∗ )⊇ \mathrm{im}(f_∗)$.
2. 另一方面, 若 $g_∗ (η) = 0$, 则有交换图
   
   
   

   此时, 依照 ET4 补全四个 $𝔼$-三角的交换图

   
   
   
   

   此处 $f_∗ κ = η$.