$i ∈ 𝐈𝐧𝐟 ⇒ \binom if ∈ 𝐈𝐧𝐟$

记 $f : A → D$. 令 conflation $A \overset x→ B \overset y→ C$ 是 $δ$ 的实现. 考虑推出

构造四个 $𝔼$-三角的交换图:

由 $y^∗ δ = 0$, 故第二横行的 $𝔼$-三角可裂. 不妨选作 $D ⊕ B$, 相应的 $\{e_1,e_2,p_1,p_2\}$ 自明. 依照 $4 × 4$-类似物, 得 $$\begin{equation} (e_1)_∗ f_∗ δ + m_∗ δ = 0. \end{equation}$$

由长正合列, $$\begin{aligned} (e_1f+m) &∈ \ker[(A, D ⊕ B) \xrightarrow{δ _!} 𝔼 (C, D ⊕ B)]\\ & = \mathrm{im} [(B, D ⊕ B) \xrightarrow{- ∘ x} (A, D ⊕ B)]. \end{aligned}$$

记 $(e_1f+m) = s ∘ x$, 矩阵形式: $\binom f 0 + \binom {g}{x} = \binom{s_1x}{s_2x}$.

我们希望 $m = \binom g x : A → D ⊕ B$ 就是 $\binom f x$. 若要实现之, 现需要给 $D ⊕ B$ 添加合适的自同构 $φ$. 若要使 $p_1φm =f$, 计算得 $$\begin{equation} p_1φ m=p_1φ (sx-e_1f)=-φ _{1,1}f +p_1φ sx. \end{equation}$$

• 我们希望 $φ_{1,1} = -1_D$;
• 我们希望右项消去, 因此 $φ$ 的第一横行不平凡;
• 我们希望 $φ$ 是形式简单的可逆矩阵, 例如三角矩阵.

从而假定 $φ = \binom{-1 \ \ \ \ u}{0\quad 1}$, 其中 $u:B → D$.

1. 一方面, $$\begin{aligned} f = p_1e_1f = p_1(sx - m) = p_1sp_2m - p_1m. \end{aligned}$$

2. 另一方面, $$\begin{aligned} p_1φ m & = p_1((-1)⊕ 1 +e_1up_2)m \\ &= - p_1 m + up_2m \end{aligned}$$

取 $u = p_1s = s_1$ 即可. 这就给出了构造.