模型范畴速记
Model
通用记号
标准记号: 五类态射, 五类对象.
- $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ (余纤维), $𝖥𝗂𝖻$ (纤维), $𝖶𝖾𝗊$ (弱等价);
- $𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ (平凡余纤维), $𝖳𝖥𝗂𝖻$ (平凡纤维);
- $𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 := 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 ∩ 𝖶𝖾𝗊$,
- $𝖳𝖥𝗂𝖻 := 𝖥𝗂𝖻 ∩ 𝖶𝖾𝗊$.
- $𝒞$ (纤维对象), $ℱ$ 余纤维对象, $𝒲$ 平凡对象.
- $X ∈ 𝒞$ 当且仅当 $[0 → X] ∈ 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$,
- $X ∈ ℱ$ 当且仅当 $[X → 0] ∈ 𝖥𝗂𝖻$,
- $X ∈ 𝒲$ 当且仅当 $[0 → X] ∈ 𝖶𝖾𝗊$.
- $𝖳𝒞$ (平凡纤维对象), $𝖳ℱ$ (平凡纤维对象).
- $𝖳𝒞 := 𝒞 ∩ 𝒲$,
- $𝖳ℱ := ℱ ∩ 𝒲$.
画图时, 使用 , 与 表示 $𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$, $𝖳𝖥𝗂𝖻$ 与 $𝖶𝖾𝗊$ 三个态射类, 使用
总而言之, 态射 是 $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$, $𝖥𝗂𝖻$ 与 $𝖶𝖾𝗊$ 专有的.
模型结构, 闭模型结构, 模型范畴的公理
使用 M 表示模型结构公理, CM 表示闭模型结构公理. $i ∈ ℕ$.
(有限双完备 + (闭) 模型结构 = (闭) 模型范畴). 假定 $𝒜$ 是带有模型结构 (闭模型结构) 的范畴. 称 $𝒜$ 是模型范畴 (闭模型范畴), 若以下条件满足.
- (M0 = CM0, 有限双向完备). $𝒜$ 关于有限极限与有限余极限封闭.
特别地, $𝒜$ 存在始对象 $⊥$ 与终对象 $⊤$.
(模型结构). 不对范畴结构做要求, 仅使用 $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ (余纤维), $𝖥𝗂𝖻$ (纤维), $𝖶𝖾𝗊$ (弱等价) 三个态射类表述公理.
- (M1, 提升性). 对任意 类型的交换图, 若 或 一者属于 $𝖶𝖾𝗊$, 则存在虚线处态射使得两个三角形交换: .
- (M2, 两类分解). $𝖬𝗈𝗋 = 𝖳𝖥𝗂𝖻 ∘ 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 = 𝖥𝗂𝖻 ∘ 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$.
- 先 $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 再 $𝖥𝗂𝖻$, 同时一者平凡.
- (M3-1, 合成, 同构). 五类态射包含同构, 同时关于合成封闭.
- (M3-2, 推出, 拉回). $𝖥𝗂𝖻$ 关于任意态射的拉回仍是 $𝖥𝗂𝖻$, $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 关于任意态射的推出仍是 $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$.
- 类似正合范畴 Ex2 与 Ex2’.
- (M4, 带 $𝖶𝖾𝗊$ 的推出拉回). $𝖳𝖥𝗂𝖻$ 关于任意态射的拉回仍是 $𝖳𝖥𝗂𝖻$, $𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 关于任意态射的推出仍是 $𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$.
- (M5, $𝖶𝖾𝗊$ 的二推三). 若 $f$, $g$, $gf$ 中两者属于 $𝖶𝖾𝗊$, 则第三者亦然.
- 复形的拟同构, 指数有限的线性映射等均具有此种关系.
闭模型结构是态射类关于缩回封闭的模型结构.
(缩回, 形变收缩核). 称 $f : X → Y$ 是 $f' : X' → Y'$ 的缩回, 若存在以下交换图:
其中 $r_1$ 与 $r_2$ 是 ses.
对加法范畴, $f'$ 缩回是 $f$ 当且仅当存在同构 $φ$ 与 $ψ$, 使得 $φ f' ψ = (f ⊕ f'')$.
(闭模型结构的原始定义).
结论汇总: 通常模型结构
基于对始对象与终对象的操作.
- ($𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 的右传递). 对 $X_{∈ 𝒞} \xrightarrow{𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻} Y$, 总有 $Y ∈ 𝒞$;
- ($𝖥𝗂𝖻$ 的左传递). 对 $X \xrightarrow{𝖥𝗂𝖻} Y_{∈ ℱ }$, 总有 $X ∈ ℱ$;
- ($𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 的右传递). 对 $X_{∈ 𝖳𝒞} \xrightarrow{𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻} Y$, 总有 $Y ∈ 𝖳𝒞$;
- ($𝖳𝖥𝗂𝖻$ 的左传递). 对 $X \xrightarrow{𝖳𝖥𝗂𝖻} Y_{∈ 𝖳ℱ}$, 总有 $X ∈ 𝖳ℱ$;
相对单-满:
- $(𝖳𝒞 , 𝖥𝗂𝖻)$ 满, $(𝒞 , 𝖳𝖥𝗂𝖻)$ 满;
- 依照定义, 这些配对取达闭包.
- $(𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻, 𝖳ℱ )$ 满, $(𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻, ℱ)$ 满;
- 依照定义, 这些配对取达闭包.
- 若 $C ∈ (𝖳)𝒞$, 余积的典范态射 $X → X ∐ C$ 属于 $(𝖳)𝒞$;
- 特例: 若 $X ∐ C \xrightarrow {(a,b)} Z ∈ (𝖳)𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$, 则 $a ∈ (𝖳)𝒞$.
- 若 $F ∈ (𝖳)ℱ$, 积的典范态射 $F ∏ X → X$ 属于 $(𝖳)ℱ$;
- 特例: 若 $F ∏ X \xrightarrow {(a,b)} Z ∈ (𝖳)𝖥𝗂𝖻$, 则 $b ∈ (𝖳)ℱ$.
加法范畴的特例.
- 对正合列 $0 → K \xrightarrow i X \xrightarrow f Y \xrightarrow p C → 0$,
- 若 $f ∈ (𝖳)𝖥𝗂𝖻$, 则 $K ∈ 𝖳(ℱ)$;
- 若 $f ∈ (𝖳)𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$, 则 $C ∈ 𝖳(𝒞)$;
态射分解:
- 五类态射包含同构;
- 五类态射合成闭;
- $𝖬𝗈𝗋 = 𝖳𝖥𝗂𝖻 ∘ 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 = 𝖥𝗂𝖻 ∘ 𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$;
- $𝖶𝖾𝗊 = 𝖳𝖥𝗂𝖻 ∘ 𝖳𝖥𝗂𝖻$;
弱等价:
- 弱等价的二推三性质: $\{f,g,gf\}$ 中两者是弱等价, 则第三者亦然;
- $𝖶𝖾𝗊 = 𝖳𝖥𝗂𝖻 ∘ 𝖳𝖥𝗂𝖻$;
- 对 $W, W' ∈ 𝒲$, 则 $\mathrm{Hom}(W,W') ⊆ 𝖶𝖾𝗊$.
态射提升 (四组):
- 左提升 $l(𝖳𝖥𝗂𝖻) = 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 与 $l(𝖥𝗂𝖻) = 𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$;
- 右提升 $r(𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻) = 𝖥𝗂𝖻$ 与 $r(𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻) = 𝖳𝖥𝗂𝖻$.
推出拉回:
- $𝖥𝗂𝖻$ 关于任意态射的拉回封闭;
- $𝖳𝖥𝗂𝖻$ 关于任意态射的拉回封闭;
- $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 关于任意态射的推出封闭;
- $𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 关于任意态射的推出封闭.
对于闭模型结构, 五个态射类对形变收缩核封闭. 对象类对直和项封闭.
态射范畴是模型结构
给定模型范畴 $𝒜$, 其态射范畴 $𝒜^→$ 也有模型结构.
- $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 (𝒜 ^→)$ 中态射形如交换方块: , 对 $𝖥𝗂𝖻$ 与 $𝖶𝖾𝗊$ 的表述类似;
- 对象类 $𝒞$, $ℱ$, $𝒲$, $𝖳ℱ$ 与 $𝖳𝒞$ 通过态射定义. 取 $𝒳$ 为上述任意一者, 则 $𝒳 (𝒜 ^→ ) = 𝒳 (𝒜 )^ → $.
(验证 M0). 若范畴具有某种图表的极限或余极限, 则函子范畴亦然: 先给所有对象逐次地构造极限, 态射是极限诱导的.
(验证 M1). 给定实线处的交换图, 其中左二弯曲箭头 (或右二弯曲箭头) 是弱等价. 此时存在虚线箭头 $s_{i}$ 使得平面图的所有胞腔与外周均交换:
态射 $(s_1 ⊕ s_2)$ 建立了态射范畴中的分解.
(验证 M2). 仅看分解 $𝖥𝗂𝖻 ∘ 𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$:
中间的虚线态射由原范畴的模型结构给出.
(验证 M3-1). 显然五类态射包含同构, 同时对合成封闭.
(验证 M3-2). 例如 $𝖥𝗂𝖻$ 对拉回封闭, 这由极限与余极限的逐次构造给出.
(验证 M4). 同 M3-2 的验证.
(验证 M5). 直接验证即可.
问题 (Reedy 范畴基本解决了第一个问题).
- 以上验证函子范畴的模型结构时, 似乎 M2 之外的公理均可依照函子范畴极限的泛性质验证. 对于何种函子范畴, M2 也成立? 这一问题似乎与局部化范畴有联系.
- 正合范畴, Abel 范畴等范畴关于函子范畴封闭. 对于正合范畴, 另有 Heller 通过 $3× 3$ 引理导出的正合范畴.
Quillen 的同伦范畴
主要是路对象与柱对象的使用.
(柱对象, 左同伦). 称 $f,f' : A → B$ 是左同伦的, 若存在以下交换图:
以上 $∂_i ∈ 𝖶𝖾𝗊$, 但 $(∂ _0, ∂ _1)$ 未必.
(左同伦关系: 左同伦交换图的精细刻画). 将左同伦的 $∂$-项分解做 $𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 ∘ 𝖳𝖥𝗂𝖻$, 得下图
此时 $(\partial_0, \partial _1) ∈ 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$, 且 $∂_i ∈ 𝖶𝖾𝗊$. 称 $h$ 实现了左同伦 $f \overset l ∼ g$.
左同伦关系吸收后继映射, 即, 对 $A \xrightarrow{f,g} B \xrightarrow v W$, 若 $f \overset l ∼ g$, 则 $vf \overset l ∼ vg$.
若来源 $A ∈ 𝒞$, 则,
- 左同伦交换图中, 余纤维态射的各分量 $∂_i ∈ 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$, 因此 $∂_i ∈ 𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$.
- 态射集 $(A , B)$ 关于左同伦构成等价关系.
此时, 右同伦条件比左同伦更宽松. 特别地, 有以下结论:
- 左同伦蕴含右同伦.
- 接上一条, 右同伦交换图如下:
重点: $B → B'$ 是平凡余纤维. 以上正好是 $\binom 11$ 的一种 $𝖥𝗂𝖻 ∘ 𝖳𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻$ 分解.
- 接上一条, 右同伦关系吸收后继映射, 即 $f \overset r ∼ g \implies uf \overset r ∼ ug$, $A \xrightarrow{f,g} B \xrightarrow u C$.
- 一般地, 右同伦关系吸收前置映射.
对全子范畴 $𝒞$, 左同伦范畴的理想 (双边吸收).
(商范畴). 定义以下商范畴.
- 右同伦是范畴 $𝒞$ 的等价关系, 可定义 Hom-商 $π : 𝒞 → π 𝒞$;
- 左同伦是范畴 $ℱ$ 的等价关系, 可定义 Hom-商 $π : ℱ → π ℱ$;
- 对 $𝒞 ∩ ℱ$ 中对象, $π : (𝒞 ∩ ℱ) → π (𝒞 ∩ ℱ)$ 通过左同伦 ($=$ 右同伦) 定义;
假定模型范畴 $𝒜$ (或是带有模型结构的较好的范畴) 的态射类 $𝖶𝖾𝗊$. 取全子范畴 $𝒳$, 定义局部化范畴 $𝖧𝗈(𝒳) := 𝒳 [(𝖶𝖾𝗊 ∩ 𝒳)^{-1}]$.
凡是关于 $𝖶𝖾𝗊$ 的局部化, 左 (右) 同伦的态射必被映至相同的态射. 下图除去 $\overline γ$ 箭头外, 所有三角型或四边形胞腔交换:
通过 $𝒞 ∩ ℱ → 𝒜 → 𝖧𝗈 (𝒜 )$, 可诱导 $\overline γ : π (𝒞 ∩ ℱ ) → 𝖧𝗈 (𝒜 )$. 上图由 $𝒞 ∩ ℱ$ 指向 $𝖧𝗈 (𝒜 )$ 的复合函子相同. 由于前项复合 $𝒞 ∩ ℱ → π (𝒞 ∩ ℱ )$ 是函子范畴的全忠实函子, 从而上图交换.
Quillen 说明了以下交换图中:
标注 $≃$ 的箭头均是严格的范畴同构. 且 $\overline {\gamma_{\mathscr C}}$ 是右侧三项复合的左伴随, $\overline {\gamma_{\mathscr F}}$ 是左侧三项复合的右伴随.
$(\mathscr C \cap \mathscr F) \to\pi (\mathscr C \cap \mathscr F)$ 将弱等价变成同构.
Abel 范畴的 Hovey 三元组
Cotorsion pair
(Cotorsion theory). 对定义 $\mathrm{Ext}^1$ 的范畴, 记 $⟂$ 是关于 $\mathrm{Ext}^1$ 的垂直.
- (Cotorsion pair). 称 $(𝒞 , ℱ )$ 是 cotorsion pair, 若 $𝒞 ^⟂ = ℱ$, $𝒞 = {}^⟂ ℱ$.
- (完备 cotorsion pair). 称 cotorsion pair $(𝒞 , ℱ )$ 是完备的, 若
- 任意 $X$ 可以嵌入短正合列 $0 → F → C → X → 0$, 满足
- $F ∈ ℱ $, 且 $C ∈ 𝒞$;
- 对任意 $C' ∈ 𝒞$, 以上短正合列是 $\mathrm{Hom}(C', -)$ 正合的.
- 任意 $X$ 可以嵌入短正合列 $0 → X → F → C → 0$, 满足
- $F ∈ ℱ $, 且 $C ∈ 𝒞$;
- 对任意 $F ∈ ℱ$, 以上短正合列是 $\mathrm{Hom}(-, F')$ 正合的.
- 任意 $X$ 可以嵌入短正合列 $0 → F → C → X → 0$, 满足
- (遗传 cotorsion pair). 称 cotorsion pair $(𝒞 , ℱ )$ 是遗传的, 若 $𝒞$ 关于满射的 kernel 封闭, $ℱ$ 关于单射的 cokernel 封闭.
称右 $𝒳$-逼近 $X \overset σ → A$ 是特殊的, 若存在短正合列 $0 → Y → X \overset σ → A → 0$ 使得其 $\mathrm{Hom}(𝒳, -)$-正合, 同时 $X ⟂ Y$.
给定有足够投射对象与内射对象的范畴, 以上关于 cotorsion pair 的系列定义可以适当地弱化:
- (完备 cotorsion pair 的等价定义). 全体对象有特殊左 $ℱ$-逼近, 当且仅当全体对象有特殊右 $𝒞$-逼近;
- (遗传 cotorsion pair 的等价定义). $𝒞$ 关于满射的 kernel 封闭, 当且仅当 $ℱ$ 关于单射的 cokernel 封闭, 当且仅当 $\mathrm{Ext}^2(𝒞 , ℱ ) = 0$, 当且仅当 $\mathrm{Ext}^{≥ 2}(𝒞 , ℱ ) = 0$.
- (遗传 cotorsion pair 的扩张闭性质). 假定 cotorsion pair 遗传, 给定 ses $0 → K → X → C → 0$.
- 若有 $K$ 与 $C$ 的特殊左 $ℱ$-逼近, 则存在 $X$ 的特殊左 $ℱ$-逼近使得有 $3 × 3$ ses 交换图;
- 若有 $K$ 与 $C$ 的特殊右 $𝒞$-逼近, 则存在 $X$ 的特殊右 $𝒞$-逼近使得有 $3 × 3$ ses 交换图.