外三角范畴 (2025-05-15 讲稿)
目标
外三角范畴的定义, 重要定义, 引理等.
- 五项长正合列 (重点是 ET4 的使用);
- Kuenth 引理的类似物 (推出拉回).
与正合范畴, 三角范畴的关系
- 正合范畴实现为特殊的外三角范畴,
- 三角范畴实现为特殊的外三角范畴,
- 存在既非正合范畴, 亦非三角范畴的外三角范畴;
主定理: 给定加法全子范畴 $ℐ ⊆ 𝐏𝐫𝐨𝐣 ∩ 𝐈𝐧𝐣$, 外三角范畴关于 $ℐ$ 的稳定范畴仍是外三角范畴.
外三角范畴的定义
ET1: 扩张结构
(带扩张结构的加法范畴) 给定加法范畴 $𝒞$, 扩张结构是指双加法函子 $$\begin{equation} 𝔼 : 𝒞 ^{\mathrm{op}} × 𝒞 → 𝐀𝐛. \end{equation}$$
记 $𝔼(Y, X)$ 中的一个元素为 $(X, δ, Y)$, 或简单地, $δ$. 给定 $f : Y → Y'$ 与 $g: X → X'$, 记群同态
- $𝔼 (f,X) =: f^∗$, 称作拉回;
- $𝔼 (Y,g) =: g_∗$, 称作推出.
由 $𝔼$ 是双函子, 推出与拉回交换.
简单验证 $𝔼$ 中加法结构: 加法定义作 Baer 和
零元即 $δ ⊕ (-δ)$ 的像, 加法结合律是因为 $\binom{\binom 11}{1} = \binom{1}{\binom 11}$, 交换律检验类似.
为说明 $f_∗$ 是群同态, 即验证交换图
显然 $$\begin{equation} (1,1)_∗ (f ⊕ f)_∗ = (f,f)_∗ = (1,1)_∗ f_∗ \end{equation}$$
(扩张的链接). 称态射 $f : X → X'$ 与 $g : Y → Y'$ 建立了扩张 $(X, δ , Y)$ 与 $(X', δ ' , Y ')$ 之间的态射, 若 $f_∗ δ' = δ g^∗$.
扩张的态射类似正合列间的态射. 以上并不是 $𝔼$-群同态.
ET2: 扩张的 (加法) 实现
(二项态射的类). 定义如下类的等价类, 并配上二元运算 $⊕$.
- 对象选取形如 $X \overset f→ Y \overset g→ Z$ 的二项态射序列.
- 以下上下两行等价
- 等价类的直和运算, 定义做等价类的直和 ($[x ⊕ y] =: [x] ⊕ [y]$).
两个对象决定了子类 $[Y, X] := \{X → E → Z\} / ∼$.
以上既未给出 $[Y, X]$ 内部的群 (大群) 结构, 也未给出 $[Y,f]$ 或 $[g,X]$ 之类的运算. 形式地, 仍将可裂短正合列所在类记作 $0$.
(加法实现, 简称实现). 称 $𝔰$ 是 $(𝒞, 𝔼)$ 的一个实现, 若 $𝔰$ 是类之间的对应: $$\begin{equation} ⋃_{X,Y}𝔼(Y,X) → ⋃_{X,Y}[Y,X],\quad (X, δ , Y) ↦ 𝔰 (δ) \end{equation}$$
且满足以下条件.
- $𝔰 (0) = 0$, 此处 $X, Y$ 任取.
- $𝔰$ 保持直和结构, 即, $𝔰(δ) ⊕ 𝔰(δ ') = 𝔰(δ ⊕ δ ')$.
- $f : X → X'$ 与 $g : Y → Y'$ 建立了扩张 $(X,δ , Y)$ 与 $(X', δ ' , Y ')$ 之间的态射, 则存在 $φ$ 使得下图交换
外三角范畴的定义 (ET3, ET4)
(实现). 实现 $𝔰$ 将类 $⋃_{X,Y} 𝔼 (Y,X)$ 对应至 $⋃_{Y,X} [Y,X]$.
- $𝔰 (δ)$ 的结果是一个等价类, 称作 $δ$ 的加法实现.
- 等价类 $𝔰 (δ)$ 中的代表元称作 $𝔼$-三角.
- 称 $(f,g)$ 是 $𝔼$-三角 $δ_s ∈ 𝔼(s(g), s(f))$ 与 $δ_t ∈ 𝔼 (t(g), t(f))$ 中的连接, 若 $f_∗ δ_s = g^∗ δ _t$.
对等价的 $𝔼$ 三角, 态射合成相等 (在外三角范畴中, 该合成为 $0$).
外三角范畴描述作三元组 $(𝒞 , 𝔼 , 𝔰)$, 其中 $𝔼$ 是加法范畴. 满足
- (ET1). $𝔼$ 是扩张结构, 即双函子 $𝔼 : 𝒞 ^{\mathrm{op}} × 𝒞 → 𝐀𝐛$
- (ET2). $𝔰$ 是实现, 也就是局部的二推三.
- (ET3). 假定以下横行是 $𝔼$-三角, 且存在态射 $f$ 与 $φ$ 使得下图交换, 则存在 $g$ 使得下图交换:
同时, $(f,g)$ 是一个连接.
- (ET3’). 假定以下横行是 $𝔼$-三角, 且存在态射 $g$ 与 $φ$ 使得下图交换, 则存在 $f$ 使得下图交换:
同时, $(f,g)$ 是一个连接.
- (ET4). 假定初始资料是如下 $⊤$-型的 $𝔼$-三角 ($\mathfrak s(\delta_{r1})$, $\mathfrak s(\delta_{c2})$), 则可以补全作如下四个 $𝔼$-三角的交换图:
同时, 以上好三角对应的扩张满足以下条件:
- $y_∗ (\delta_{c2}) = \delta_{c3}$,
- $\delta_{r1} = r^∗ \delta_{r2}$,
- $s^∗ (\delta_{c2}) = x_∗ (\delta_{r2})$.
- (ET4’). 假定初始资料是如下 $⊣$-型的 $𝔼$-三角 ($\mathfrak s(\delta_{r2})$, $\mathfrak s(\delta_{c3})$), 则可以补全作如下四个 $𝔼$-三角的交换图:
同时, 以上好三角对应的扩张满足以下条件 (同 ET4):
- $y_∗ (\delta_{c2}) = \delta_{c3}$,
- $\delta_{r1} = r^∗ \delta_{r2}$,
- $s^∗ (\delta_{c2}) = x_∗ (\delta_{r2})$.
请注意 ET2 与 ET3 (ET3’) 关于二推三类似性质的表述.
- ET2 先给定连接与外周态射, 再声明中间态射与交换图之存在性.
- ET3 先给定 $𝔼$-三角的的交换图, 再声明该态射可以补全为连接.
一般地, $𝔼$-三角之间的态射不再是连接.
ET4 与 ET4’ 是不同输入的同一结果, 都是给定一个 T 构造另一个 T. 类比作八面体公理, 以下类似交换方块的 $\boxed 1$, $\boxed{2}$ 与 $\boxed{3}$ 对应 ET4 中三处约束:
另一种理解方式是正合范畴中的 Noether 同构.
若正合范畴 $(𝒜 ,ℰ)$ 本质小, 或是有足够投射, 则 $\mathrm{Ext}^1$ 总是集合. 此时, $(𝒜, \mathrm{Ext}^1, 𝔰)$ 是外三角范畴, $𝔰$ 由 $\mathrm{Ext}^1$ 的米田群定义给出.
外三角范畴的基本性质
上同调函子
先证明一则实用的引理.
一般而言, $𝔼$-三角间的态射不是连接; 若 $δ$ 可裂, 则任意 $δ$ 至 $δ'$ 的态射是连接, 且任意 $δ'$ 至 $δ$ 的态射也是连接.
只看 $δ$ 至 $δ '$ 的态射 $(a,b,c)$. 依照 ET3, 存在态射 $(a',b,c)$ 使得 $(a', c)$ 是连接. 因此 $c^∗ δ = a'_∗ δ = 0 = a_∗ δ$.
(充实在 $𝐀𝐛$ 范畴上的米田引理). 表述证明略.
($δ_!$ 与 $δ^!$). 由米田引理, 扩张 $δ$ 对应自然变换 $δ_!$ (被拉回) 与 $δ^!$ (被突出):
(函子的同调长正合序列, 证明). 给定 $𝔼$-三角 $𝔰 (δ ) = [A\xrightarrow f B \xrightarrow g C]$, 则有六项反变函子的长正合列
需要提及, $𝔼(-, B)$ 处的正合性需要 ET4, 前五项长正合列仅通过 ET1, ET2, 与 ET3 推得.
一般地, $𝔼$-三角之间的态射不再是连接; 但对某些特殊情形, $𝔼$-三角间的交换图是连接. 假定以下是 $𝔼$-三角的交换图
若 $(f', X)$ 满或是 $(Z' ,g)$ 满, 则以上是连接.
只看 $(f', X)$ 满的情形. 使用 ET3 建立 $a' : X → X'$ 使得以下两点成立.
- 有交换图且 $f' a' = bf$. 等价地, $f' (a-a') = 0$.
- $(a', c)$ 是连接, 即 $(a')_∗ δ = c^∗ δ'$. 等价地, $(a-a') ∈ \ker δ ^!$.
由 $(a-a') ∈ \ker δ ^! = \mathrm{im}(- ∘ f')$, 只需证明 $(a-a')$ 通过 $f'$ 分解, 这由 $(f', X)$ 满直接得到.
主定理: 特殊的稳定范畴保持外三角结构
外三角范畴的引理 (类比正合范畴)
若无歧义, 将使用正合范畴的名词称呼 $𝔼$-三角. 称 $𝔰 (δ)$ 是 conflation, 其第一项态射与第二项态射分别为 inflation 与 deflation.
(EX1 类似物). 由 ET4, inflation 与 deflation 对合成封闭.
(EX2 类似物). 这一类比是困难的, 因为外三角范畴通常没有态射嵌入 $𝔼$-三角的结论, 更没有一般的推出拉回.
(Noether 同构 ≈ 八面体引理 ≈ ET4). 这是正合范畴, 三角范畴与外三角范畴的共性.
(Noether ≈ ET4 的推论). 这是正合范畴与外三角范畴共有的. 在三角范畴中, 好三角灵活的旋转特性埋没了这一推论.
给定来源相同的 inflation 与 deflation, 其拉回就是推出拉回方块, 且有四条 conflation 的交换图:
对外三角范畴, 将某一 inflation 或 deflation 补全作 $𝔼$-三角, 使用八面体公理即可.
(双 deflation 拉回, 双 inflation 推出). 对正合范畴,
- 若两个 deflation 具有相同的去向, 则其拉回补全作四条 conflation 的交换图:
- 若两个 inflation 具有相同的来源, 则其推出补全作四条 conflation 的交换图:
(双 deflation 拉回 ≈ Verdier 的 $4 × 4$ 公理, 证明). 给定外三角范畴中 $δ_{i} ∈ 𝔼 (C, A_i)$ 的实现, 则可补全以下四条 $𝔼$-三角的交换图:
中间行列恰是 $(y_i)_∗ δ_j$ 的实现.
将之类比作 $4 × 4$ 公理, 是因为 $$\begin{aligned} (m_1)_∗ δ _1 &= m_∗ (e_1)_∗ (p_1)_∗\binom 11^∗ (δ _1 ⊕ δ _2);\\ (m_2)_∗ δ _2 &= m_∗ (e_2)_∗ (p_2)_∗\binom 11^∗ (δ _1 ⊕ δ _2). \end{aligned}$$
相加得
$$\begin{equation} (m_1)_∗ δ _1 + (m_2)_∗ δ _2 = m_∗ \binom 11^∗ (δ _1 ⊕ δ _2) = 0. \end{equation}$$
综上, 两处 deflation 的拉回不但给出两处扩张的拉回, 另给出一个反交换方块.
(EX3). 以下是正合范畴中的若干结论.
- 若 $gf$ 是 inflation, $f$ 有余核, 则 $f$ 是 inflation.
- 当且仅当正合范畴弱幂等完备, 恒有 $[gf ∈ 𝐢𝐧𝐟 ] ⇒ [f ∈ 𝐢𝐧𝐟]$.
- 假定 $gf$ 是 inflation, 且 $g$ 是 deflation. 此时, $f$ 是 inflation, 同时可补全四条 conflation 的交换图:
(外三角范畴的 EX3 类似物, 证明). 假定 $gf$ 是 inflation, 且 $g$ 是 deflation. 此时, $f$ 是 inflation, 同时可补全四条 conflation 的交换图.
给定 ET4 图, 双 deflation 所谓拉回图, 以及双 inflation 的所谓推出图. 若四个态射链中有三个 $𝔼$-三角, 则第四者亦然.
(特殊的 inflation, 添加直和项). 若 $x : A → B$ 是 inflation, 则对任意 $A$ 出发的态射 $f$, $\binom x f$ 也是 inflation. 这在正合范畴中成立, 也在外三角范畴中成立.
(原证明, 现已无用). 这是 的直接使用. 由 $f$ 是 inflation 且 $(1,0)$ 是 deflation, 则 $\binom fx$ 必然是 inflation. 同时存在四条 $𝔼$-三角的交换图.
投射对象, 内射对象
(外三角范畴的投射对象). 称 $P$ 是外三角范畴的投射对象, 若以下论断成立:
- 对任意 deflation $d : B → C$, 一切 $P → C$ 通过 $d$ 分解;
- $(P, -)$ 是正合函子;
- $𝔼 (P, -)$ 消失;
- 对任意 $δ ∈ 𝔼 (C,A)$, 任意 $f : P → C$, 则 $f^∗ δ = 0$.
(1 ⟺ 2). 两者等价于左正合函子 $(P, -)$ 将 deflation 对应至满射.
(1 ⟺ 3). 若 $𝔼 (P, -)$ 消失, 由长正合列知 $(P, -)$-将 deflation 对应至满射. 若 $(P, -)$ 将 deflation 对应至满射, 则任意 $δ ∈ 𝔼 (P, A)$ 实现作可裂短正合列, 得 $𝔼 (P, -)$ 消失.
(1 ⟺ 4). 由长正合列, $\ker δ _!$ 是相应的 deflation 的 image.
(证明). 给定外三角范畴 $(𝒞 , 𝔼 , 𝔰 )$. 若加法子范畴 $𝒳 ⊂ 𝐏𝐫𝐨𝐣 ∩ 𝐈𝐧𝐣$, 则 $𝒞 / 𝒳$ 也是外三角范畴, 且继承了外三角结构.
三角范畴视作外三角范畴
(自等价诱导的扩张结构). 给定局部小的加法范畴的自等价 $Σ$, 定义扩张为如下加法双函子 $$\begin{equation} 𝔼 : 𝒞 ^{\mathrm{op}} × 𝒞 → 𝐀𝐛 ,\quad (Y, X) ↦ \mathrm{Hom}(Y,ΣX). \end{equation}$$
对 $δ ∈ 𝔼 (C,A) = (C,ΣA)$. $δ_!$ 与 $δ^!$ 解释如下.
- $δ_! ∈ 𝖭𝖺𝗍 [(- , C), 𝔼 (- , A)] ≃ 𝔼(C, A) ∋ δ$,
- 此处, 自然变换 $(- , C) \xrightarrow{(-, δ)} (-, ΣA)$ 对应态射 $C \xrightarrow δ ΣA$.
- $δ^! ∈ 𝖭𝖺𝗍 [(A, -), 𝔼 (C, -)] ≃ 𝔼 (C,A) ∋ δ$,
- 此处, 自然变换 $(A, -) ≃ (ΣA, Σ-) \xrightarrow{(δ , -)} (C, Σ-)$ 对应态射 $C \xrightarrow δ ΣA$.
(泛元的实现). 米田引理的泛元: $$\begin{equation} 1_{ΣA} ∈ \mathrm{End}(ΣA) = 𝔼 (ΣA, A) = 𝖭𝖺𝗍 [(-, ΣA), 𝔼 (-, A)] ∋ u_A. \end{equation}$$
假定 ET2. 此时存在实现 $𝔰(1_{ΣA}) = [A \xrightarrow f E \xrightarrow g ΣA]$. 长正合列给出 $$\begin{equation}
(-, A) → (-, E) → (-, ΣA) \xrightarrow{u_A} 𝔼 (-, A) → 𝔼 (-, X).
\end{equation}$$ $u_A$ 是自然同构, 因此 $(-, g)$ 与 $𝔼 (-, f)$ 均为 $0$. 由 $𝔼$ 是自等价给出的, 故 $f$ 与 $g$ 是零态射. 由正合性, $E = 0$.
综上, $1_{ΣA} ∈ 𝔼 (ΣA, A)$ 的实现必然是 $[A → 0 → ΣA]$.
(三角范畴的外三角结构). 给定三角范畴 $(𝒞 , Σ, \triangle)$.
- (ET1). $Σ$ 诱导了扩张 $𝔼 (-,⋅) := (-, Σ⋅ )$. 显然这是加法双函子.
- (ET2). 定义 $δ ∈ 𝔼(Z,X) = (Z, ΣX)$ 的实现为好三角所在的同构类 $[X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z]$. 在对象 $Y$ 相差一个同构的意义下, 态射 $δ$ 可以嵌入唯一好三角 $X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z \xrightarrow δ ΣX$. 下验证这是加法实现:
- 若实现是零, 也就是可裂短正合列, 则 $δ$ 处必然取零态射;
- 好三角关于直和封闭;
- 二推三性质给出局部的二推三性质.
- (ET3). 这就是通常的二推三.
- (ET4). ET4 的三个限制条件与八面体公理的三个限制条件完全匹配:
自等价诱导的外三角范畴 $(𝒞 , 𝔼 , 𝔰)$ 是三角范畴. 此处, 平移取自等价 $Σ$, 称 $X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z \xrightarrow h X[1]$ 是好三角, 若 $𝔰 (δ ) = [X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z]$.
- (TR1-1). 好三角对同构封闭. 仅看好三角的前三项, 同构的拆分作两处等号 + 一处同构的形式. 对 $(∥, ∥, ∼)$ 或是 $(∼ , ∥, ∥)$, 使用 $φ^∗$ ($φ_∗$) 转化作 $(∥ , ∼ , ∥)$. 对 $(∥ , ∼ , ∥)$, 依照 $[Z,X]$ 的定义即可.
- (TR1-2). 任意态射可嵌入好三角. 在证明顺时针旋转的情形下, 任意态射形如 $δ$.
- (TR1-3). 对任意对象 $X$, 存在平凡三角 $X = X → 0 → X[1]$. 在证明顺时针旋转的情形下, 考虑 $u_A$ 即可.
- (TR2). 若有好三角 $X \xrightarrow u Y \xrightarrow v \xrightarrow w Z$, 下证明顺时针旋转也是好三角. 取双 inflation 的所谓推出方块, 得四个 $𝔼$-三角的交换图:
依照 $4 × 4$ 引理类似物, 得
反交换关系表明 $w' = -w$. 因此, $𝔰 (u_∗ (1_{X[1]})) = [Y\xrightarrow v Z \xrightarrow {-w}X[1]]$. 依照米田引理计算得, $$\begin{equation} u_∗ 1_{X[1]} = (1_{X[1]})^!(u) ∼ \begin{bmatrix}(X,-) & → & (X[1] , - [1]) & = & (X[1] , - [1])\\ u & ↦ & u[1] & = & u[1] ∘ 1_{X[1]} \end{bmatrix}. \end{equation}$$ 因此, $𝔰 (u[1]) = [Y \xrightarrow v Z \xrightarrow {-w} X[1]]$. 依照 TR1-1, 得好三角的顺时针旋转.
- (TR3). 二推三. 几乎是 ET2, ET3, ET3’ 的定义.
- (TR4). 八面体公理. 几乎是 ET4 的定义.