$𝔓$ 是 $ℤ 𝔓$ 的截面

先证明 $𝔓$ 是 $ℤ 𝔓$ 的截面, 今依次验证如下三点.

1. (道路封闭) 由 $A$ 遗传, 投射模的子模是投射模, 从而指向投射模的不可约态射都是 $𝔓$ 中的态射. 这说明 $𝔓$ 对道路封闭.

2. (连通, 无环的全子范畴). 由不可约态射空间的刻画

   $$ \mathrm{Irr}(P(i), P(j)) ≃ e_j ⋅ \frac{\mathrm{Rad}(A)}{\mathrm{Rad}^2(A)} ⋅ e_i, $$

   得 $𝔓 ≃ Q^{\mathrm{op}}$.

3. (截面). 直接由定义得到.

往后证明 $Γ ⊆ ℤ𝔓$ 是全子范畴. 依照几乎可裂短正合列的性质, 反射 $θ$ 诱导了有线性空间的同构

$$ \mathrm{Irr}(τ X, Y) ≃ \mathrm{Irr}(Y, X) ≃ \cdots . $$

依照反射, 归纳地验证全子范畴 $Γ ⊆ ℤ 𝔓$ 即可. 特别地, $Γ$ 有限连通, 故归纳在有限步内结束.