$D_4$ 与交换图方块代数.

计算 AR quiver:

对非内射的投射对象 $P(4)$, 此时的 APR tilting 模是

$$ τ⁻¹ S(4) ⊕ ⨁_{i ≠ 4} P(i). $$

这一 tilting 模给出的 torsion pair $({\color{blue}𝒯}, {\color{green}ℱ})$是

(Tilted 代数). 容易计算

$$ \mathrm{End}(P_1 ⊕ P_2 ⊕ P_3 ⊕ τ ⁻¹ P_4) ≃ \begin{bmatrix} k & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ k & k & k & k \end{bmatrix}. $$

对应的 quiver 是

$$ \mathrm{End}(T_A) = k ⋅ \begin{bmatrix} & & P_2 & & \\ & & \uparrow & & \\ P_1 & \leftarrow & τ⁻¹P_4 & \rightarrow & P_3 \end{bmatrix}. $$

(BB 定理如何工作)?

以上,

1. $(T, -) : {\color{blue}𝒯} → {\color{cyan}𝒴}$ 是范畴等价, 从 torsion 映至 torsion-free;
2. $\mathrm{Ext}^1(T, -) : {\color{green}ℱ} → {\color{olive}𝒳}$ 是范畴等价, 从 torsion-free 映至 torsion.

从效果上看, 确实只是相差 $i=4$ 处的 Coxeter 反射.

以下 $T := ⨁ \boxed {\substack{a \\b \ c \ d} }$ 不是 APR tilting 模:

以上是 $T$ tilting 模.

1. (投射维度). 由遗传代数, $p.\dim T ≤ 1$.
2. (相对内射维度). 只需证明不可分解投射模的 $𝐚𝐝𝐝(T)$-相对内射维度 $≤1$. 计算得
   1. $0 → {\color{green}\substack{0\\0 \ 1 \ 0} } → {\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 1 \ 0} } } → {\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 0 \ 0} } } → 0$;
   2. $0 → {\color{green}\substack{1\\0 \ 1 \ 0} } → {\color{blue}\boxed{\substack{1\\1 \ 1 \ 0} } }→ {\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 0 \ 0} } } → 0$;
   3. $0 → {\color{green}\substack{0\\0 \ 1 \ 1} } → {\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 1 \ 1} } } → {\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 0 \ 0} } } → 0$;
   4. $0 → {\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 1 \ 0} } } → {\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 1 \ 0} } } → 0$.

3. (自垂直). 由 $p.\dim T ≤ 1$, 此时 $D\mathrm{Ext}^1(T,T) ≃ \mathrm{Hom}(T, τ T)$, 即,

   $$ \mathrm{Hom}\left({\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 1 \ 0} }_A}⊕ {\color{blue}\boxed{\substack{1\\1 \ 1 \ 0} }_B}⊕{ \color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 1 \ 1} } _C}⊕{ \color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 0 \ 0} }_D}, {\color{green}\substack{0\\0 \ 1 \ 1} } ⊕ {\color{green}\substack{1\\0 \ 1 \ 0} } ⊕ {\color{green}\substack{1\\0 \ 1 \ 1}\color{black} }\right). $$

   对任意分量间的态射 $φ$, 必有 $φ_1 =0$, 此时 $φ_4=0$. 简单验证知 $φ_2$ 与 $φ_3$ 恒零.

上述 torsion pair 是不裂的. 特别地, 有典范分解

$$ 0 → {\color{blue}\boxed{\substack{0\\1 \ 1 \ 0} } } → \substack{1\\1 \ 2 \ 1} → {\color{green}\substack{1\\0 \ 1 \ 1} } → 0. $$

($\mathrm{End}_A(T_A)$). 下求 Tilting 代数 $B := \mathrm{End}(T_A)$. 依定义将 $B$ 写作矩阵代数 $(B_{i,j})_{1 ≤ i,j ≤ 4}$. 直接计算得

$$ B ≃ \begin{pmatrix} k\operatorname{id}_A & 0 & 0 & 0 \\ kf_{BA} & k\operatorname{id}_B & 0 & 0 \\ kf_{CA} & 0 & k\operatorname{id}_C & 0 \\ kf_{DA} & kf_{DB} & kf_{DC} & k\operatorname{id}_D. \end{pmatrix} $$

以上 $f_{j,i}$ 是 $i → j$ 类型的态射, 对应 quiver with relation:

$$ \begin{bmatrix} A & → & B \\ ↓ & ↻ & ↓\\ C & → & D \end{bmatrix}. $$

($B$ 的 AR quiver). $B$ 的 AR quiver 如下 $\boxed{\substack {b \\ a \quad c \\ d} }$:

以上 $\color{cyan} {_B(T,\{A,B,C,D\})}$ 是投射对象.

(BB 定理如何工作?). 此处解释 tilting 的含义

以下是几点发现.

1. Tilted 代数 $B = \mathrm{End}(T_A)$ 整体维数是 $2$. 满足 $|gl.\dim A - gl. \dim B| ≤ 1$ 的结论.
2. 由 $A$ 遗传, ${_B}T ∈ 𝐦𝐨𝐝_B$ 诱导的 torsion pair 是可裂的.
3. 从 $Γ(A)$ 至 $Γ(B)$, 不可分解对象的个数减少了.