具有投射盖的平坦对象必投射
证明
试思考以下问题: 若平坦模有投射盖, 则必是投射模.
证明见经典教材环论与模论讲义 (林節玄 著) 中的习题 Ch6-§4-20, 解答见 (此处).
特别注意: 以上证明并未使用 Lazard 定理 (平坦模是有限生成投射模的滤过余极限), 本质上与下述证明不同.
若平坦对象具有投射盖, 则其必然是投射对象.
记 $P \overset π ↠ F$ 是平坦对象的投射盖, 其中 $F = \varinjlim P_i$ 是有限生成投射对象的滤过余极限 (Lazard). 取定所有拉回
$$ \begin{bmatrix} &P_i ⊕ Q_i & \xrightarrow{(1 \ 0)}& P_i \\ \substack{g_i}&↓ & & ↓ &\substack {f_i}\\ &P & \overset π ↠ & F \\ \end{bmatrix}. $$
依照拉回的泛性质, $g_i$ 自动构成滤过系统. 依照 $∐ (P_i ⊕ Q_i) ↠ ∐ P_i$, 得推出拉回方块
$$ \begin{bmatrix} & & ∐ (P_{i} ⊕ Q_{i}) & ↠ & ∐ P_{i}\\ & & ↓ & & ↓ \\ ∗ & ↪ & ∑ \operatorname{im} g_{i} & ↠ & Σ \operatorname{im} f_{i}\\ ↓ & ▦ & ↓ & & ∥ \\ \ker π & ↪ & P & ↠ & F \end{bmatrix}. $$
依照投射盖的定义, $∑ \operatorname{im}g_i ↪ P$ 是同构, $∗ → \ker π$ 亦是同构. 因此滤过系统 $\{g_i\}$ 的滤过余极限即 $P$.
以上得到滤过系统的态射 $\{f_i\} ↪ \{g_i\} ↠ \{f_i\}$ 这甚至是链可裂的. 依照余极限的泛性质, 存在形变收缩 $F → P → F$, 因此 $F$ 是投射对象.