米田嵌入是上同调函子

只需证明一切 $(-,W)_{𝒯}$ 是上同调函子. 任意给定三角 $X^∙ ∈ \triangle$, 上链复形 $(X^∙ , W)_{𝒯} ∈ C(k)$ 在 $n$ 处的正合性描述作以下命题:

• 对 $f^n : X^n → W$, 复合态射 $[X^{n-1} → X^n → W] = 0$, 当且仅当 $f^n$ 通过 $[X^n → X^{n+1}]$ 分解.

对 $\{f^{n-1},f^n,f^{n+1}\}$ 使用二推三原则, 研究以下三角射即可:

$$ \begin{bmatrix} X^{\bullet } &:& \cdots & \rightarrow & X^{n-1} & \rightarrow & X^{n} & \rightarrow & X^{n} +1 & \rightarrow & \cdots \\ \downarrow & & & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ W^{\bullet }&: & 0 & \rightarrow & W & = & W & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \cdots \end{bmatrix}. $$