预投射部分左有界

先证明 (1 ⇒ 2), 也就是对任意预投射对象 $M$, $L_∞(M)$ 有限. 先证明一则引理.

• (引理一). 预投射分支是 Noether 空间. 换言之, 对任意预投射对象 $M$, 道路 $\cdots → M$ 无法无限延申.

• (证明一). 若不然, 取无限长道路 $\cdots τ ^{- n_k} P_{i_k} → \cdots τ ^{-n_1} P_{i_1} → M$. 注意到

  • 投射对象有限;
  • 对 $τ^{-a} P_l → \cdots τ^{-b} P_l$, 总有 $a < b$ (不然, 预投射分支存在环路).

  因此, 这一道路必在有限步内归零. 矛盾.

依照 Noether 条件, 继而证明如下引理.

• (引理二). 对任意预投射模 $M$, 从投射单模至 $M$ 的所有道路的长度有一致上界.
• (证明二). 对 $n ≥ 1$, 记 $X ∈ 𝒮_n$ 当且仅当存在投射单模至 $X$ 的长为 $n$ 的不可约道路. 特别地, $𝒮_1$ 是预投射分支内投射单模的集合. 记 $ℳ$ 是在无穷个 $𝒮_n$ 中出现的模.
  • 若 $ℳ$ 为空, 则证明完毕;
  • 若 $ℳ$ 非空, 则依照 Noether 条件, 存在某一极左的对象 $N$.
    • 若 $N$ 是投射单模, 由于不存在指向投射单模的不可约态射 (讨论单与满), 矛盾.
    • 若 $N$ 非投射单模, 由 $N$ 的左邻域有限, 左邻域中存在 $ℳ$ 中对象, 矛盾.

记 $H(M)$ 是连接 $M$ 与投射单模的极长道路. 记命题 $𝔄_i$ 如是: 对 $H(M) = i$ 的预投射对象, $L_∞(M)$ 有限. 下归纳地证明 $𝔄_n$ 对一切 $n ≥ 0$ 成立.

• (初始). 若 $H(M) = 0$, 则 $M$ 是投射单对象, $L_∞ (M) = \{M\}$ 有限.
• (归纳 $𝔄_k → 𝔄_{k+1}$). 若 $H(M) = k+1$, 则 $\max_{N ∈ L_1(M)} H(N) < n$. 此处 $L_1(M)$ 是有限集. 显然归纳假设成立.

(2 ⇒ 1). 任选定 $Γ(A)$ 的无环分支 $Δ$, 对任意 $M ∈ Δ$, $L_∞(M)$ 有限蕴含某一 $τ^k M =0$.