预投射 (预内射) 模是自垂直的 brick

只看预投射情形. 选定预投射模 $M$.

1. (证明是 brick). 若存在非零非同构的 $φ : M → M$, 则任取 $\operatorname{im}φ$ 的不可分解直和项 $T$. 由单向性, 必然有 $\operatorname{im}φ$ 预投射. 此时, 该预投射分支存在环路, 矛盾.

2. (证明自垂直). 仅考虑 $M$ 非投射的情形. 依照 AR 公式, 得

   $$ D\mathrm{Ext}^1(M, M) ≃ \overline{(M, τM)} ↞ (M, τ M). $$

   因此, 存在 $M$ 指向 $τM$ 的不可约态射路, 该预投射分支存在环路, 矛盾.