局部化与积范畴交换
证明
(局部化与乘积交换). 给定有限个范畴 $𝒞_i$ 以及包含同构的态射类 $S_i ⊆ 𝖬𝗈𝗋(𝒞_i)$, 以下由局部化诱导的态射是同构: $$\begin{equation} (\times_{i=1}^n 𝒞_i) [(\times_{i=1}^n S_i)^{-1}]→ (×_{i=1}^n 𝒞_i [S_i^{-1}]). \end{equation}$$
先明确上述态取法: 取复合态射 $𝒞_i → 𝒞_i[S_i^{-1}] → (×_{i=1}^n 𝒞_i [S_i^{-1}])$, 再由积的泛性质给出 $(\times_{i=1}^n 𝒞_i)→ (×_{i=1}^n 𝒞_i[S_i^{-1}])$. 最后由局部化的泛性质给出上述态射.
由归纳, 只需证明 $n=2$ 的情形. 以下证明 $(𝒞_1× 𝒞_2) [(S_1× S_2)^{-1}] ≃ (𝒞_1 [S_1^{-1}])× (𝒞_2 [S_2^{-1}])$ 有相同的泛性质.
- 对任意范畴 $𝒟$, 考虑函子范畴 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭((𝒞_1× 𝒞_2) [(S_1× S_2)^{-1}],𝒟)$;
- 由于复合局部化函子是全忠实的, 以上即函子范畴 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_1 × 𝒞_2,𝒟)$ 的全子范畴, 其中的函子将 $S_1× S_2$ 映至 $\mathrm{Iso}(𝒟)$;
- (依照 Curry 化同构) 以上即 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_1, 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_2,𝒟))$ 的全子范畴, 其对象为子类 $$\begin{equation}
\{F ∈ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_1,𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_2,𝒟)) ∣ A ∧ B\},
\end{equation}$$ 其中 $A$ 与 $B$ 是分离公理模式中的条件:
- 条件 $A$: $∀X∈ 𝒞_1 [(F(X))(S_2)⊂\mathrm{Iso}(𝒟)]$,
- 条件 $B$: $F:S_1→ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_2,𝒟) \ \text{中的自然同构}$;
- 以上同构于 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_1,𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_2 [S_2^{-1}],𝒟))$ 的全子范畴, 其中的函子满足 $B$;
- 以上即函子范畴 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_1 [S^{-1}],𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_2 [S_2^{-1}],𝒟))$;
- (依照 Curry 化同构) 以上即 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞_1 [S^{-1}]× 𝒞_2 [S_2^{-1}],𝒟)$.