$𝐜𝐨𝐠$ 与 $𝐠𝐞𝐧$ 的等价定义

若 $p : X^n ↠ M$ 是满态射, 记分量为 $(p_i)_{1 ≤ i ≤ n}$. 此时, 任意 $m ∈ M$ 形如 $∑ p_i(x_i)$ 的形式, 因此

$$ (X, M) ⊗_{\mathrm{End}(X)} X → M,\quad ∑ p_i ⊗ x_i ↦ m $$

是满态射.
反之, 若 $φ : (X, M) ⊗ X → M$ 满, 则任意 $m ∈ M$ 都是形如 $∑ f_i(x_i)$ 的形式, 由 $(X,M)$ 是有限生成右 $\mathrm{End}(M)$-模. 取 $(X, M)$ 的一组生成元 $𝒢$, 则有满态射

$$ X^𝒢 ↠ (X, M) ↠ M. $$

若 $i: M ↪ X^n$ 是单态射, 不妨将 $M$ 中元素视同 $X^n$ 中元素. 对 $m = (x_j)_{1 ≤ j ≤ n} ≠ 0$, 不妨设 $x_1 ≠ 0$, 得

$$ (M, X) → X,\quad p_1 ↦ p_1(m) ≠ 0. $$

因此 $m$ 在 $((M, X), X)$ 中的像是非零态射, 从而是单的.
反之, 若 $ψ : M → ((M, X), X)$ 是单态射, 则有复合的单态射

$$ M ↪ ((M, X), X) ↪ ((X, X)^n, X). $$

此处 $(X, X)^n ↠ (M, X)$ 是有限生成模 $\mathrm{End}(X)$-模的覆盖.