Torsion Class 与 $\mathrm{Ext}^1$
证明
(垂直条件, 证明). 以下刻画 torsion pair $(𝒯, ℱ)$ 中满足 $\mathrm{Ext}^1$-垂直的对象. 记 $t$ 与 $f$ 是相应的子函子与商函子.
- $𝒯 ∩ (^⟂ 𝒯) = 𝒯 ∩ τ ⁻¹ ℱ$.
- $𝒯 ∩ (𝒯^⟂) = 𝒯 ∩ t(𝐢𝐧𝐣)$.
- $ℱ ∩ (ℱ^⟂) = ℱ ∩ τ 𝒯$.
- $ℱ ∩ (^⟂ ℱ) = ℱ ∩ f(𝐩𝐫𝐨𝐣)$.
基于对称性, 仅看前两条.
$𝒯 ∩ (^⟂ 𝒯) = 𝒯 ∩ τ ⁻¹ ℱ$.
给定 $X ∈ 𝒯$, 往证 $\mathrm{Ext}^1(X, 𝒯) = 0$ 当且仅当 $τ X ∈ ℱ$.
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假定 $\mathrm{Ext}^1(X, 𝒯) = 0$. 若 $X$ 投射, 则 $τ M ∈ ℱ$; 若 $X$ 非投射, 则考虑几乎可裂 ses
$$ 0 → τ X → E → X → 0. $$
若 $τ X ↠ f(τX)$ 是同构, 则证毕. 若不然, $τX ↠ f(τX)$ 通过 $τ X ↪ E$ 分解 (几乎可裂 ses 定义). 此时有交换图 ($▩$ 是推出拉回):
$$ \begin{bmatrix} & & 0 & & 0 & & & & \\ & & ↓ & & ↓ & & & & \\ 0 & → & t( τ X) & → & ? & → & X & → & 0\\ & & ↓ & ▩ & ↓ & & ∥ & & \\ 0 & → & τ X & → & E & → & X & → & 0\\ & & ↓ & ↙ & ↓ & & & & \\ 0 & → & f( τ X) & = & f( τ X) & & & & \\ & & ↓ & & ↓ & & & & \\ & & 0 & & 0 & & & & \end{bmatrix} $$
由假定, $\mathrm{Ext}^1(X, t(τX)) = 0$, 从而第一横行可裂. 由推出保持可裂单, 得 $τX ↪ E$ 可裂, 矛盾.
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反之, 若 $τ X ∈ ℱ$, 则 AR 公式表明
$$ \mathrm{Ext}^1(X, 𝒯) ≃ D\overline {(𝒯 , τ X)} ↪ D(𝒯 , τ X) = 0. $$
因此 $X ∈ {}^⟂𝒯$.
$𝒯 ∩ (𝒯^⟂) = 𝒯 ∩ t(𝐢𝐧𝐣)$.
给定 $X ∈ 𝒯$, 往证 $\mathrm{Ext}^1(𝒯, X) = 0$ 当且仅当 $X$ 是某个内射对象的 $t$-部分.
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假定 $\mathrm{Ext}^1(𝒯, X) = 0$. 考虑内射包 $X ↪ I(X)$. 依照 $t$ 的函子性, 得 $X ↪ t(I(X)) ↪ I(X)$. 由于
$$ 0 → X → t(I(X)) → \frac{t(I(X))}{X} → 0 \quad ∈ 𝒯 . $$
依照 $\mathrm{Ext}^1(𝒯, X) = 0$, 得 ses 可裂. 由 $I$ 与 $t$ 是加法函子, $X$ 必形如内射模的 $t$ 部分.
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若 $X$ 是内射对象的 $t$ 部分, 记 $X = tI$. 对 $I$ 的 $(t,f)$-ses 导出, 得
$$ \cdots → \underset 0 {\underbrace{(-, fI)|_{𝒯}}} → \mathrm{Ext}^1(-, tI)|_{𝒯} → \underset 0 {\underbrace{\mathrm{Ext}^1(-, I)|_{𝒯}}} → \cdots. $$
从而 $\mathrm{Ext}^1(𝒯, X) = 0$.