HW1

给定一个长宽相等的矩阵 (也称方阵) $A$, 定义 $A^2 = A \cdot A$. 归纳地定义 $A ^{k+1} = A ^k \cdot A$.

1. 若 $A = \begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & y\end{pmatrix}$, 试计算 $A^k$ 的通式.
2. 若 $A = \begin{pmatrix}1 & x \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, 试计算 $A^k$ 的通式.
3. 若 $A = \begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix}$, 试计算 $A^k$ 的通式.
4. 若 $A = \begin{pmatrix}13 &-6 \\ 4 & 2\end{pmatrix}$, 试计算 $A^k$ 的通式.

提示: 将 $A$ 写作 $\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.8 & -0.6 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$, 再尝试计算 $A^2$.

沿用上题 (3). 假定 $a$ 与 $b$ 是实数, 定义集合 $$ X = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb R\right\}. $$

请证明以下是集合间的双射:

$$ f : X \to \mathbb C, \quad \begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix} \mapsto a + ib. $$

对任意 $A, B \in X$, 检验以下等式:

1. $f(A) \cdot f(B) = f(A \cdot B)$;
2. $f(A + B) = f(A) + f(B)$.

若 $A$ 不是零矩阵, 如何定义 $A^{-1}$?

请先用(初)高中方法计算 $a_{n+2} = 2a_{n+1} + 3a_n$ 的通项, 结果用 $a_0$ 与 $a_1$ 表示. 若将递推式写作矩阵形式, 得到 $$ \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a_{n+1} \\ a_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{n+2} \\ a_{n+1}\end{pmatrix}. $$

此时, 计算数列的通项, 等价于计算 $\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^k$ 的通式.

提示: 我们在 Ex1-4 中给出一种计算方式, 即, 将矩阵 $A$ 写作 $P\cdot X \cdot P^{-1}$ 的形式.