HW2-solu

这个数域必须包含一切 $f(\pi)$, 其中 $f$ 是有理系数的多项式.

因此, 该数域必须包含所有 $\frac{f(\pi)}{g(\pi)}$, 其中 $g$ 是有理系数的非零多项式, $f$ 是有理系数多项式. 最后说明, 集合 $$ X:= \left\{\frac{f(\pi)}{g(\pi)} \mid f,g \ \text{是有理系数多项式}, g \neq 0 \right\} $$ 是个数域即可.

• (包含 $0$ 与 $1$). 显然 $0,1 \in X$.
• (加法封闭). $\frac{f_1(\pi)}{g_1(\pi)} + \frac{f_2(\pi)}{g_2(\pi)} = \frac{f_1(\pi)g_2(\pi) + f_2(\pi)g_1 (\pi)}{g_1(\pi)g_2(\pi)} \in X$.
• (减法封闭). 注意到 $- \frac{f(\pi)}{g(\pi)} \in X$. 验证对减法封闭, 就是验证对加法和相反数封闭.
• (乘法封闭). $\frac{f_1(\pi)}{g_1(\pi)} \cdot \frac{f_2(\pi)}{g_2(\pi)} = \frac{f_1(\pi)f_2(\pi)}{g_1(\pi)g_2(\pi)} \in X$.
• (除法封闭). 对非零的数, 注意到 $(\frac{f(\pi)}{g(\pi)})^{-1} \in X$. 验证对除法封闭就是验证对乘法和倒数封闭.

从 9-19 作业可以观察到一个现象: 行变换不改变最简行阶梯形.

假定 $A$ 是一个矩阵, $A'$ 由 $A$ 通过行变换得到, 且 $A'$ 可以通过行变换复原至 $A$. 记 $v_k$ 是 $A$ 的第 $k$ 列, $v'_k$ 是 $A'$ 的第 $k$ 列. 不难发现, 如有 $v_1 + 2 v_2 = v_3$ 一类的式子成立, 当且仅当 $v_1' + 2v_2' = v_3'$ 也成立. 在可逆行变换中, 所有这类列向量的等式被无损地传递.

矩阵到最简行阶梯形的行变换是可逆的. 我们按照以上观察, 给出一个计算最简行阶梯形的算法, 并将以上的 $A'$ 构造作 $A$ 的最简行阶梯形. 这一算法适合借助线性空间的语言表述, 先给一个口语化的表述 (不完全归纳):

• 若 $v_1 = 0$, 则取 $v_1' = \left(\substack{0\\0\\0\\\vdots}\right)$. 若 $v_1 \neq 0$, 则取 $v_1' = \left(\substack{1\\0\\0\\\vdots}\right)$.

• 假定 $v_1 \neq 0$, 且 $v_2 = \lambda \cdot v_1$, 则取 $v_2' = \left(\substack{\lambda\\0\\0\\\vdots}\right)$. 假定不存在 $v_2 = \lambda \cdot v_1$ 这类等式, 则取 $v_2' = \left(\substack{0\\1\\0\\\vdots}\right)$.

• 假定 $v_1' = \left(\substack{1\\0\\0\\\vdots}\right)$, $v_2' = \left(\substack{0\\1\\0\\\vdots}\right)$. 若存在 $a v_1 + b v_2 = v_3$ 一类等式 (也就是 $v_3$ 落在 $\{v_1, v_2\}$ 所在的平面中), 则取 $v_3' = \left(\substack{a\\b\\0\\\vdots}\right)$. 若不存在这类等式, 则取 $v_3' = \left(\substack{0\\0\\1\\\vdots}\right)$.

• 如是归纳即可.

给一个基于线性空间语言的严谨表述 (约定 $e_l$ 是第 $l$ 项为 $1$, 其余项为 $0$ 的列向量):

• 找到最小的 $k$ 使得 $v_k \neq 0$. 记 $v'_{< k}$ 为零向量. 记 $v'_k = e_1$.
• 假定构造了 $\{v_{i}'\}_{i \leq d}$, 且 $d$ 小于矩阵宽度, 下构造 $v_{d+1}'$.
  1. 若 $v_{d+1} \notin \left\{\sum\limits_{1 \leq i\leq d} c_i v_i\right\}$, 则记 $v_{d+1} = e_{q+1}$, 其中 $q = \dim \left\{\sum\limits_{1 \leq i\leq d} c_i v_i\right\}$ 是向量空间的维数.
  2. 若 $v_{d+1} \in \left\{\sum\limits_{1 \leq i\leq d} c_i v_i\right\}$, 那么任取一个等式 $v_{d+1} = \sum\limits_{1 \leq i\leq d} c_i v_i$, 定义 $v_{d+1}' = \sum\limits_{1 \leq i\leq d} c_i v_i'$ 即可.

可以从数学归纳的角度看出, 以上算法解得的矩阵就是 $ref(A)$. 对仅有 $1$ 列的矩阵, 该算法显然正确. 假定对 $n$ 列的矩阵该算法正确, 那么对 $n+1$ 列的矩阵, 该算法也正确 (第 $n+1$ 列要么由前 $n$ 列唯一决定, 要么另起一行).

以上给出最简行阶梯形的一种构造. 下证明其唯一性. 假定 $B$ 与 $B'$ 是 $A$ 的最简行阶梯形, 下证明 $B = B'$. 直接地, $B$ 与 $B'$ 的第一列相同 (要么是 $0$, 要么是 $\left(\substack{1\\0\\0\\\vdots}\right)$). 假定 $B$ 与 $B'$ 在 $1$ 至 $k$ 列相同, 在第 $k+1$ 列不同.

1. 若 $A$ 的第 $k+1$ 列能用前 $k$ 列的线性组合表示, 则 $B$ 与 $B'$ 的第 $k+1$ 列均是 $B$ 与 $B'$ 前 $k$ 列对应的线性组合. 这与假定矛盾.
2. 若 $A$ 的第 $k+1$ 列不能用前 $k$ 列的线性组合表示, 则 $B$ 与 $B'$ 的第 $k+1$ 列都是主元所在的列, 从而相同. 矛盾.