HW1-solu

Chencheng Zhang
September 16, 2025

前置任务

请自学 $2 \times 2$ 矩阵的乘法.
请尝试使用电脑计算矩阵乘法, 比如基于 python 的 sage, 在线网址是 https://sagecell.sagemath.org/. 教程自行 Google.

矩阵幂的计算

给定一个长宽相等的矩阵 (也称方阵) $A$, 定义 $A^2 = A \cdot A$. 归纳地定义 $A ^{k+1} = A ^k \cdot A$.

若 $A = \begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & y\end{pmatrix}$, 试计算 $A^k$ 的通式.
若 $A = \begin{pmatrix}1 & x \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, 试计算 $A^k$ 的通式.
若 $A = \begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix}$, 试计算 $A^k$ 的通式.
若 $A = \begin{pmatrix}13 &-6 \\ 4 & 2\end{pmatrix}$, 试计算 $A^k$ 的通式.

提示: 将 $A$ 写作 $\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.8 & -0.6 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$, 再尝试计算 $A^2$.

$A^k = \begin{pmatrix}x^k & 0 \\ 0 & y^k\end{pmatrix}$.
$A^k = \begin{pmatrix}1 & kx \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.
依照下一题, $A^k = \begin{pmatrix}\mathrm{Re}((a+bi)^k) & \mathrm{Im}((a+bi)^k) \\ -\mathrm{Im}((a+bi)^k) & \mathrm{Re}((a+bi)^k)\end{pmatrix}$.
$A^k = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10^k & 0 \\ 0 & 5^k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.8 & -0.6 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$.

矩阵与复数

沿用上题 (3). 假定 $a$ 与 $b$ 是实数, 定义集合 $$ X = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb R\right\}. $$

请证明以下是集合间的双射:

$$ f : X \to \mathbb C, \quad \begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix} \mapsto a + ib. $$

只需证明 $f$ 是单射, 且是满射.

(证单). 任取 $M = \begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix}$ 与 $M' = \begin{pmatrix}a' & b' \\ -b' & a'\end{pmatrix}$. 若 $f(X) = f(X')$, 则 $a+ib = a' + ib'$. 由高中知识, 两个复数相同当且仅当实部与虚部相同. 这说明 $a = a'$ 且 $b=b'$. 因此 $X = X'$.
(证满). 任意复数 $a + ib$ 都能表示作 $f(\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix})$.

对任意 $A, B \in X$, 检验以下等式:

$f(A) \cdot f(B) = f(A \cdot B)$;
$f(A + B) = f(A) + f(B)$.

即证明 $$ \begin{pmatrix}a a' -bb' & a'b + ab' \\ -(a'b + ab' ) & a a' -bb'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a' & b' \\ -b' & a'\end{pmatrix}. $$
即证明 $$ \begin{pmatrix}a + a' & b + b' \\ -(b+ b') & a' + a'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a' & b' \\ -b' & a'\end{pmatrix}. $$

若 $A$ 不是零矩阵, 如何定义 $A^{-1}$?

逆矩阵就是复数倒数对应矩阵. 我们发现 $f$ 与加法交换, 与乘法也交换. 实际上, $f$ 把零矩阵映作 $0$, 把单位矩阵 $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ 映作 $1$. 若 $A^{-1}$ 有定义, 则应有 $$ f(A^{-1}) \cdot f(A) = f(A^{-1} \cdot A) = 1 = f(A)^{-1} \cdot f(A). $$ 应当有 $f(A)^{-1} = f(A^{-1})$. 由于 $f$ 是双射, $f^{-1}$ 也是映射, 从而 $A^{-1} = f^{-1} (f(A)^{-1})$.

称 $y$ 是 $x$ 的逆元, 应该说明 $xy$ 与 $yx$ 均为恒等元. 两个条件缺一不可. 例如, 矩阵 $(1 \ \ 0) \cdot \binom 10 = 1$, 但是 $\binom 1 0$ 没有右逆元, 从而不是可逆矩阵.

如果 $f \circ g$ 是恒等映射, $g \circ h$ 是恒等映射, 则 $f = h$.

$f = f\circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h = h$.

矩阵与递推数列

请先用(初)高中方法计算 $a_{n+2} = 2a_{n+1} + 3a_n$ 的通项, 结果用 $a_0$ 与 $a_1$ 表示. 若将递推式写作矩阵形式, 得到 $$ \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a_{n+1} \\ a_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{n+2} \\ a_{n+1}\end{pmatrix}. $$

此时, 计算数列的通项, 等价于计算 $\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^k$ 的通式.

提示: 我们在 HW1 中给出一种计算方式, 即, 将矩阵 $A$ 写作 $P\cdot X \cdot P^{-1}$ 的形式.

由高中知识, 求 $x^2 = 2x + 3$ 的根 $x_1 = -1$ 与 $x_2 = 3$. 待定系数得 $$ a_n = \frac{a_0 + a_1}{4} \cdot 3^n + \frac{3a_0 - a_1}{4} \cdot (-1)^n. $$ 可以看出 $$ 3^n(a_0+a_1) = (a_n + a_{n+1}),\quad (-1)^n(3a_0-a_1) = (3a_n - a_{n+1}). $$ 因此, $$ \begin{pmatrix}3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{a_0 + a_1}{} \\ {3a_0 - a_1}{}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_{n} + a_{n+1}}{} \\ {3a_n - a_{n+1}}{}\end{pmatrix}. $$ 从而有 $$ \begin{pmatrix}3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a_0 \\ a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{n} \\ a_{n+1}{}\end{pmatrix}. $$ 移项, 得 $$ \begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix}3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^n. $$

注: 该分解不唯一. 例如, 将 $(3a_0-a_1)$ 选成 $(2a_1-6a_0)$, 则会得到不同的答案.