HW2
自学任务
- 了解域的定义, 以及域和数域有何区别?
- 了解行阶梯形的定义. 此处的行阶梯形的拐角处均是 $1$, 这类 $1$ 的左/上/下位置均是 $0$. 有时称作最简行阶梯形 (reduced row échelon form).
- 可以参考此书的第 88 页 (PDF 的第 96 页), 理解 (既约) 阶梯形方程组这一定义.
- 了解方程组秩的定义. 秩就是最简行阶梯形中非零行数.
数域
求包含有理数 $\mathbb Q$ 和 $\pi$ 的最小的数域.
行阶梯形存在且唯一
最简行阶梯形 (reduced row échelon form) 是否总存在? 若存在, 是否唯一?
解方程
使用课堂方法求解以下方程组, 应当标明每步行变换方式. 请视个人时间与能力, 自行选题完成.
- 见此书 3.3 习题与解答部分 (书中的第 97 页, PDF 的第 105 页).
问题 1. $\left\{\begin{matrix}
2x_1 & +x_2 & +x_3& = & 2,\\
x_1 & +3x_2 & +x_3& = & 5,\\
x_1 & +x_2 & +5x_3& = & -7,\\
2x_1 & +3x_2 & -3x_3& = & 14.
\end{matrix}\right.$
问题 2. $\left\{\begin{matrix}
6x_1 & +6x_2 & +5x_3 &+ 18x_4 &+20x_5 & = & 14,\\
10x_1 & +9x_2 & +7x_3 &+ 24x_4 &+30x_5 & = & 18,\\
12x_1 & +12x_2 & +13x_3 &+ 27x_4 &+35x_5 & = & 32,\\
8x_1 & +6x_2 & +6x_3 &+ 15x_4 &+20x_5 & = & 16,\\
4x_1 & +5x_2 & +4x_3 &+ 15x_4 &+15x_5 & = & 11.
\end{matrix}\right.$
问题 3. $\left\{\begin{matrix}
2x_1 & +7x_2 & +3x_3 &+ x_4 &= & 5,\\
x_1 & +3x_2 & +5x_3 & -2x_4 &= & 3,\\
x_1 & +5x_2 & -9x_3 & +8x_4 &= & 1,\\
5x_1 & +18x_2 & 4x_3 & +5x_4 &= & 12.
\end{matrix}\right.$
问题 4. $\left\{\begin{matrix}
2x_1 & -x_2 & +x_3 &- x_4 & = & 3,\\
4x_1 & -2x_2 & -2x_3 &+3x_4 & = & 2,\\
2x_1 & -x_2 & +5x_3 & -6x_4 & = & 1,\\
2x_1 & -x_2 & -3x_3 & +4x_4 & = & 5.
\end{matrix}\right.$