HW3-solu

给定矩阵 $A$. 记 $ref(A)$ 是其最简行阶梯形. 试完成以下题目, 并谈谈你的体会.

1. 交换 $A$ 的前两行, 得 $A'$, 试问 $ref(A)$ 与 $ref(A')$ 的关系?
   • 用方程组语言说, 这是交换前两个方程式.
2. 交换 $A$ 的前两列, 得 $A'$, 试问 $ref(A)$ 与 $ref(A')$ 的关系?
   • 用方程组语言说, 这是交换 $x_1$ 和 $x_2$.
3. 把 $A$ 的第一行乘以常数 $\lambda$, 得 $A'$, 试问 $ref(A)$ 与 $ref(A')$ 的关系?
   • 用方程组语言说, 这是把第一个方程式乘以 $\lambda$.
4. 把 $A$ 的第一列乘以常数 $\lambda$, 得 $A'$, 试问 $ref(A)$ 与 $ref(A')$ 的关系?
   • 用方程组语言说, 这是换元 $x_1 := \lambda x_1$, 也可能是 $x_1 := 0$.
5. 把 $A$ 的第一行加至第二行 (仅改变矩阵第二行), 得 $A'$, 试问 $ref(A)$ 与 $ref(A')$ 的关系?
   • 用方程组语言说, 这是把方程 $(ii)$ 换成方程 $(i) + (ii)$.
6. 把 $A$ 的第一列加至第二列 (仅改变矩阵第二列), 得 $A'$, 试问 $ref(A)$ 与 $ref(A')$ 的关系?
   • 用方程组语言说, 这是换元 $x_1 := x_1 + x_2$. 例如, 原方程式由 $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots$ 变为 $a_{11}x_1 + (a_{11} + a_{12})x_2 + \cdots$, 这相当于在解方程 $a_{11}(x_1+x_2) + a_{12}x_2 + \cdots$.