HW5
初等行变换矩阵
给定 $n$ 行的矩阵 $A$.
- 交换 $A$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行, 等价于左乘一个矩阵 $S_{i,j}$. 写出该矩阵.
- 将 $A$ 第 $k$ 行的各项同时乘上一个常数 $\lambda$, 等价于左乘一个矩阵 $D_k^{\lambda}$. 写出该矩阵.
- 向 $A$ 的第 $j$ 行加上其第 $i$ 行的 $\lambda$ 倍 (这一过程仅改变第 $j$ 行, 其他行不变), 等价于左乘一个矩阵 $T_{i,j}^\lambda$. 写出该矩阵.
- 求逆变换 (逆矩阵) $S_{i,j}^{-1}$, $(D_k^\lambda)^{-1}$ (如果 $\lambda \neq 0$), 以及 $(T_{i,j}^\lambda)^{-1}$.
- 使用自然语言描述这三类逆变换.
- 求 $S_{i,j}S_{k,l}=S_{k,l}S_{i,j}$ 的充要条件.
- 求 $T_{i,j}^\lambda T_{k,l}^\mu=T_{k,l}^\mu T_{i,j}^\lambda$ 的充要条件.
- 以上给出了三类矩阵. 能否通过某两类矩阵得到第三类? 请讨论这三种情况 (构造或给出反例).
- 假定 $A$ 是方阵. 将以上 $S_{i,j}$, $T_{i,j}$ 与 $D_k$ 乘在 $A$ 的右侧, 效果如何?
注意: 6, 7, 8, 9 四问涉及一些无聊的数学归纳法, 可以认为没有太大意义.
相抵标准型的存在性
简单证明如下事实:
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假定方阵 $A$ 可以通过初等行变换变成 $I$ (单位矩阵), $I$ 通过同样的初等行变换变成 $B$. 请证明 $AB = I$ 且 $BA = I$.
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任何方阵都能表示成P1中 $S$, $D$ 与 $T$ 这三类矩阵交替的乘积.
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证明相抵标准型的存在性: 对任意矩阵 $A$, 存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ 使得 $$ A=P\begin{pmatrix}I_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q. $$ 此处 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵, $O$ 表示数字 $0$ 出现的位置.