HW6-solu
秩不等式练习题 (国庆作业)
请尝试完成去年作业题, 并从答案中学习做题技巧. 这是问题集与解答.
我们明确一些习题集中出现的记号.
(零空间, 列空间). $N(A) = \{v \mid Av = 0\}$ 是矩阵的零空间; $C(A) = \{Av \mid v \in \mathbb{R}^n\}$ 是矩阵的列空间, 即所有列向量的线性组合所构成的空间.
(共轭转置). 对复矩阵 $A$, 定义其共轭转置 $A^H$ 为先取转置再取共轭, 即 $(A^H)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}$.
Typo
习题 5. 的解答中, 断言 $B_{11} = O$ 应改作 $B_{11} = I$.
同时相抵化
我们证明解答中式 (0.9) 对应的命题.
若 $r(A+B) = r(A) + r(B)$, 则存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得
$$\begin{equation} PAQ = \begin{pmatrix} I & O & O\\ O & O & O \\ O & O & O\end{pmatrix}, \quad PBQ = \begin{pmatrix} O & O & O \\ O & O & O\\ O & O & I \end{pmatrix}. \end{equation}$$
简单地说, 如果 $A$ 与 $B$ 的秩是所谓互斥的, 当且仅当它们的相抵标准形也可以互斥地写出.
依照相抵标准型, 任何矩阵能写作列满秩矩阵与行满秩矩阵的乘积, 具体的做法是
$$\begin{equation} A = R \cdot \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} \cdot S = \left[R \cdot \begin{pmatrix} I_r \\ O \end{pmatrix}\right]\cdot \left[\begin{pmatrix} I_r & O \end{pmatrix} \cdot S\right]. \end{equation}$$
记这个乘积为 $A = C_A R_A$, 相应地记 $B = C_B R_B$. 相抵标准型通常不唯一, 以上两组乘积是任意取定的. 我们注意到
$$\begin{equation} A+B = C_A R_A + C_B R_B = (C_A \quad C_B) \binom{R_A}{R_B}. \end{equation}$$
比较行秩, $r(\binom{R_A}{R_B}) \geq r(A+B) = r(A) + r(B) = r(R_A) + r(R_B) \geq r(\binom{R_A}{R_B})$. 因此, $\binom{R_A}{R_B}$ 是行满秩的. 对称的证明表明 $(C_A \quad C_B)$ 是列满秩的. 我们可以将 $(C_A \quad C_B)$ 与 $\binom{R_A}{R_B}$ 填充成可逆矩阵
$$\begin{equation} P = (C_A \quad C' \quad C_B), \quad Q = \begin{pmatrix} R_A \\ R' \\ R_B \end{pmatrix}. \end{equation}$$
此时,
$$\begin{equation} P \begin{pmatrix} I & O & O\\ O & O & O \\ O & O & O\end{pmatrix} Q = C_A R_A = A, \quad P \begin{pmatrix} O & O & O \\ O & O & O\\ O & O & I \end{pmatrix} Q = C_B R_B = B. \end{equation}$$
以及,
$$\begin{equation} P \begin{pmatrix} I & O & O\\ O & O & O \\ O & O & I\end{pmatrix} Q = C_A R_A + C_B R_B = A + B. \end{equation}$$
这就完成了证明.
这个命题的通常采用分块矩阵的相抵标准型证明, 或是通过矩阵的线性映射表示证明.