HW7
判断题
假定所有矩阵都是数域上的. 我们使用 $ref(A)$ 表示 $A$ 的最简行阶梯形矩阵, $r(A)$ 表示矩阵的秩, $A^T$ 表示 $A$ 的矩阵转置. $O$ 是零矩阵, $I$ 是单位矩阵. $\binom AB$ 表示将矩阵 $A$ 在上方, 矩阵 $B$ 在下方进行垂直拼接得到的矩阵, $(A \quad B)$ 表示将矩阵 $A$ 在左方, 矩阵 $B$ 在右方进行水平拼接得到的矩阵.
(行 (列) 满秩). 给定 $m \times n$ 规格的矩阵 $A$. 若 $r(A) = m$, 则称 $A$ 为行满秩矩阵; 若 $r(A) = n$, 则称 $A$ 为列满秩矩阵.
特别地, 行满秩矩阵的行数不超过列数, 列满秩矩阵的列数不超过行数.
请判断以下命题是否正确. 若正确, 无需给出证明; 若错误, 请给出反例 (无需检验反例).
- $r(A) = r (A^TA)$, 假定 $A$ 为 $m \times n$ 规格的矩阵.
- $r(AB) = r(BA)$, 假定 $A$ 为 $m \times n$ 规格的矩阵, $B$ 为 $n \times m$ 规格的矩阵.
- $r(A \quad B) = r \binom AB$, 假定 $A, B$ 均为 $m \times n$ 规格的矩阵.
- $r(AB) = r(B)$, 当且仅当存在 $C$ 使得 $CAB = B$.
- 给定矩阵乘法的方程 $AX = B$, 方程有解当且仅当 $r(A\quad B) = r(A)$.
- 给定线性方程组 $A x = b$. 若系数矩阵 $A$ 的秩小于未知元个数, 则方程组有无穷多解.
初等变换的使用
请使用矩阵初等变换 (包括之前作业中的结论), 尽可能简短地证明如下问题.
若 $A$ 是 $n \times n$ 规格的矩阵, 存在 $B$ 使得 $AB = I$, 则有 $BA = I$.
特别注意 请从零开始证明这个命题, 不能出现任何循环论证. 例如, 我们并没有引入满秩的方阵是可逆的这类结论, 因此不能使用 (该题实际上也就是在证明这个). 秩的定义是行秩, 也就是 $ref$ 的非零行数. 可以使用作业中出现的结论, 例如行秩等于列秩.
行满秩矩阵的一个例子
假定 $A$ 是 $m \times n$ 规格的矩阵 ($m \leq n$). 在 $A$ 的每一行中取定一个元素, 记 $a_{i, \sigma (i)}$ 是第 $i$ 行中取定的元素. 假定这些元素 $\{a_{i, \sigma (i)}\}_{1 \leq i \leq m}$ 满足如下性质.
- 若 $i \neq j$, 则 $\sigma (i) \neq \sigma (j)$. 换言之, 这些元素位于不同的 $m$ 列.
- 对任意 $a_{i, \sigma (i)}$, 总有 $|a_{i, \sigma (i)}| > \sum _{k \neq i} |a_{k, \sigma (i)}|$. 换言之, 元素的绝对值均大于所在列中其他元素绝对值之和.
请证明, 这个矩阵是行满秩的.
作为推论, 我们有如下结论.
(可逆矩阵的充分条件). 给定 $n \times n$ 规格的矩阵 $A = (a_{ij})$. 若对任意 $1 \leq i \leq n$, 有
$$\begin{equation} |a_{ii}| > \sum _{j \neq i} |a_{ji}|, \end{equation}$$ 则 $A$ 可逆.